Pré-cálculo Exemplos

$\ln (\frac{\sqrt{x + 5} \sqrt[5]{x - 2}}{{(x + 1)}^{2}})$

Etapa 1

Reescreva $\ln (\frac{\sqrt{x + 5} \sqrt[5]{x - 2}}{{(x + 1)}^{2}})$ como $\ln (\sqrt{x + 5} \sqrt[5]{x - 2}) - \ln ({(x + 1)}^{2})$ .

$\ln (\sqrt{x + 5} \sqrt[5]{x - 2}) - \ln ({(x + 1)}^{2})$

Etapa 2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 5}$ como ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln ({(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \sqrt[5]{x - 2}) - \ln ({(x + 1)}^{2})$

Etapa 3

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[5]{x - 2}$ como ${(x - 2)}^{\frac{1}{5}}$ .

$\ln ({(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(x - 2)}^{\frac{1}{5}}) - \ln ({(x + 1)}^{2})$

Etapa 4

Expanda $\ln ({(x + 1)}^{2})$ movendo $2$ para fora do logaritmo.

$\ln ({(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(x - 2)}^{\frac{1}{5}}) - (2 \ln (x + 1))$

Etapa 5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\ln ({(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(x - 2)}^{\frac{1}{5}}) - 2 \ln (x + 1)$

Etapa 6

Reescreva $\ln ({(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(x - 2)}^{\frac{1}{5}})$ como $\ln ({(x + 5)}^{\frac{1}{2}}) + \ln ({(x - 2)}^{\frac{1}{5}})$ .

$\ln ({(x + 5)}^{\frac{1}{2}}) + \ln ({(x - 2)}^{\frac{1}{5}}) - 2 \ln (x + 1)$

Etapa 7

Expanda $\ln ({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})$ movendo $\frac{1}{2}$ para fora do logaritmo.

$\frac{1}{2} \ln (x + 5) + \ln ({(x - 2)}^{\frac{1}{5}}) - 2 \ln (x + 1)$

Etapa 8

Expanda $\ln ({(x - 2)}^{\frac{1}{5}})$ movendo $\frac{1}{5}$ para fora do logaritmo.

$\frac{1}{2} \ln (x + 5) + \frac{1}{5} \ln (x - 2) - 2 \ln (x + 1)$

Etapa 9

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (x + 5)$ .

$\frac{\ln (x + 5)}{2} + \frac{1}{5} \ln (x - 2) - 2 \ln (x + 1)$

Etapa 9.2

Combine $\frac{1}{5}$ e $\ln (x - 2)$ .

$\frac{\ln (x + 5)}{2} + \frac{\ln (x - 2)}{5} - 2 \ln (x + 1)$

Etapa 10

Para escrever $\frac{\ln (x + 5)}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\ln (x + 5)}{2} \cdot \frac{5}{5} + \frac{\ln (x - 2)}{5} - 2 \ln (x + 1)$

Etapa 11

Para escrever $\frac{\ln (x - 2)}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x + 5)}{2} \cdot \frac{5}{5} + \frac{\ln (x - 2)}{5} \cdot \frac{2}{2} - 2 \ln (x + 1)$

Etapa 12

Escreva cada expressão com um denominador comum de $10$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 12.1

Multiplique $\frac{\ln (x + 5)}{2}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\ln (x + 5) \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{\ln (x - 2)}{5} \cdot \frac{2}{2} - 2 \ln (x + 1)$

Etapa 12.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{\ln (x + 5) \cdot 5}{10} + \frac{\ln (x - 2)}{5} \cdot \frac{2}{2} - 2 \ln (x + 1)$

Etapa 12.3

Multiplique $\frac{\ln (x - 2)}{5}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x + 5) \cdot 5}{10} + \frac{\ln (x - 2) \cdot 2}{5 \cdot 2} - 2 \ln (x + 1)$

Etapa 12.4

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{\ln (x + 5) \cdot 5}{10} + \frac{\ln (x - 2) \cdot 2}{10} - 2 \ln (x + 1)$

Etapa 13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\ln (x + 5) \cdot 5 + \ln (x - 2) \cdot 2}{10} - 2 \ln (x + 1)$

Etapa 14

Simplifique o numerador.

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Etapa 14.1

Mova $5$ para a esquerda de $\ln (x + 5)$ .

$\frac{5 \cdot \ln (x + 5) + \ln (x - 2) \cdot 2}{10} - 2 \ln (x + 1)$

Etapa 14.2

Mova $2$ para a esquerda de $\ln (x - 2)$ .

$\frac{5 \ln (x + 5) + 2 \ln (x - 2)}{10} - 2 \ln (x + 1)$

Etapa 15

Para escrever $- 2 \ln (x + 1)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{10}{10}$ .

$\frac{5 \ln (x + 5) + 2 \ln (x - 2)}{10} - 2 \ln (x + 1) \cdot \frac{10}{10}$

Etapa 16

Combine $- 2 \ln (x + 1)$ e $\frac{10}{10}$ .

$\frac{5 \ln (x + 5) + 2 \ln (x - 2)}{10} + \frac{- 2 \ln (x + 1) \cdot 10}{10}$

Etapa 17

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5 \ln (x + 5) + 2 \ln (x - 2) - 2 \ln (x + 1) \cdot 10}{10}$

Etapa 18

Multiplique $10$ por $- 2$ .

$\frac{5 \ln (x + 5) + 2 \ln (x - 2) - 20 \ln (x + 1)}{10}$