Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x + 2}{x - 3}$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \frac{y + 2}{y - 3}$

Etapa 2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Multiplique a equação por $y - 3$ .

$(y - 3) (x) = (\frac{y + 2}{y - 3}) (y - 3)$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y x - 3 x = (\frac{y + 2}{y - 3}) (y - 3)$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Cancele o fator comum de $y - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y x - 3 x = \frac{y + 2}{y - 3} (y - 3)$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y x - 3 x = y + 2$

Etapa 2.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$y x - 3 x - y = 2$

Etapa 2.4.2

Some $3 x$ aos dois lados da equação.

$y x - y = 2 + 3 x$

Etapa 2.4.3

Fatore $y$ de $y x - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1

Fatore $y$ de $y x$ .

$y (x) - y = 2 + 3 x$

Etapa 2.4.3.2

Fatore $y$ de $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = 2 + 3 x$

Etapa 2.4.3.3

Fatore $y$ de $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = 2 + 3 x$

Etapa 2.4.4

Divida cada termo em $y (x - 1) = 2 + 3 x$ por $x - 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.1

Divida cada termo em $y (x - 1) = 2 + 3 x$ por $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{2}{x - 1} + \frac{3 x}{x - 1}$

Etapa 2.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{2}{x - 1} + \frac{3 x}{x - 1}$

Etapa 2.4.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{2}{x - 1} + \frac{3 x}{x - 1}$

Etapa 2.4.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{2 + 3 x}{x - 1}$

Etapa 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 + 3 x}{x - 1}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{2 + 3 x}{x - 1}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x + 2}{x - 3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{2 + 3 (\frac{x + 2}{x - 3})}{(\frac{x + 2}{x - 3}) - 1}$

Etapa 4.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Multiplique $\frac{2 + 3 \frac{x + 2}{x - 3}}{\frac{x + 2}{x - 3} - 1}$ por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{x - 3}{x - 3} \cdot \frac{2 + 3 (\frac{x + 2}{x - 3})}{\frac{x + 2}{x - 3} - 1}$

Etapa 4.2.3.2

Combine.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (2 + 3 (\frac{x + 2}{x - 3}))}{(x - 3) (\frac{x + 2}{x - 3} - 1)}$

Etapa 4.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) \cdot 2 + (x - 3) (3 (\frac{x + 2}{x - 3}))}{(x - 3) (\frac{x + 2}{x - 3}) + (x - 3) \cdot - 1}$

Etapa 4.2.5

Cancele o fator comum de $x - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) \cdot 2 + (x - 3) (3 (\frac{x + 2}{x - 3}))}{(x - 3) (\frac{x + 2}{x - 3}) + (x - 3) \cdot - 1}$

Etapa 4.2.5.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) \cdot 2 + (x - 3) (3 (\frac{x + 2}{x - 3}))}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Etapa 4.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.1

Fatore $x - 3$ de $(x - 3) \cdot 2 + (x - 3) \cdot 3 \frac{x + 2}{x - 3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.1.1

Fatore $x - 3$ de $(x - 3) \cdot 2$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (2) + (x - 3) (3 (\frac{x + 2}{x - 3}))}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Etapa 4.2.6.1.2

Fatore $x - 3$ de $(x - 3) (2) + (x - 3) (3 \frac{x + 2}{x - 3})$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (2 + 3 (\frac{x + 2}{x - 3}))}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Etapa 4.2.6.2

Combine $3$ e $\frac{x + 2}{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (2 + \frac{3 (x + 2)}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Etapa 4.2.6.3

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{2 (x - 3)}{x - 3} + \frac{3 (x + 2)}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Etapa 4.2.6.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{2 (x - 3) + 3 (x + 2)}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Etapa 4.2.6.5

Reordene os termos.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 (x + 2) + 2 (x - 3)}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Etapa 4.2.6.6

Reescreva $\frac{3 (x + 2) + 2 (x - 3)}{x - 3}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 x + 3 \cdot 2 + 2 (x - 3)}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Etapa 4.2.6.6.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 x + 6 + 2 (x - 3)}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Etapa 4.2.6.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 x + 6 + 2 x + 2 \cdot - 3}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Etapa 4.2.6.6.4

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 x + 6 + 2 x - 6}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Etapa 4.2.6.6.5

Some $3 x$ e $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x + 6 - 6}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Etapa 4.2.6.6.6

Subtraia $6$ de $6$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x + 0}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Etapa 4.2.6.6.7

Some $5 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Etapa 4.2.7

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{x + 2 + x \cdot - 1 - 3 \cdot - 1}$

Etapa 4.2.7.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{x + 2 - 1 \cdot x - 3 \cdot - 1}$

Etapa 4.2.7.3

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{x + 2 - 1 \cdot x + 3}$

Etapa 4.2.7.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{x + 2 - x + 3}$

Etapa 4.2.7.5

Subtraia $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{0 + 2 + 3}$

Etapa 4.2.7.6

Some $0$ e $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{2 + 3}$

Etapa 4.2.7.7

Some $2$ e $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{5}$

Etapa 4.2.8

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.8.1

Fatore $\frac{5 x}{x - 3}$ de $\frac{(x - 3) \frac{5 x}{x - 3}}{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{5 x}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{5}$

Etapa 4.2.8.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.8.2.1

Fatore $5$ de $5 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{5 (x)}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{5}$

Etapa 4.2.8.2.2

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{5 x}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{5}$

Etapa 4.2.8.2.3

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3)$

Etapa 4.2.8.3

Cancele o fator comum de $x - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.8.3.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3)$

Etapa 4.2.8.3.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = x$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (\frac{2 + 3 x}{x - 1})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{(\frac{2 + 3 x}{x - 1}) + 2}{(\frac{2 + 3 x}{x - 1}) - 3}$

Etapa 4.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Multiplique $\frac{\frac{2 + 3 x}{x - 1} + 2}{\frac{2 + 3 x}{x - 1} - 3}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{2 + 3 x}{x - 1} + 2}{\frac{2 + 3 x}{x - 1} - 3}$

Etapa 4.3.3.2

Combine.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1} + 2)}{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1} - 3)}$

Etapa 4.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

Etapa 4.3.5

Simplifique cancelando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

Etapa 4.3.5.1.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{2 + 3 x + (x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

Etapa 4.3.5.2

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.2.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{2 + 3 x + (x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

Etapa 4.3.5.2.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{2 + 3 x + (x - 1) \cdot 2}{2 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Etapa 4.3.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{2 + 3 x + x \cdot 2 - 1 \cdot 2}{2 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Etapa 4.3.6.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{2 + 3 x + 2 \cdot x - 1 \cdot 2}{2 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Etapa 4.3.6.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{2 + 3 x + 2 \cdot x - 2}{2 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Etapa 4.3.6.4

Subtraia $2$ de $2$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{3 x + 2 x + 0}{2 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Etapa 4.3.6.5

Some $3 x + 2 x$ e $0$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{3 x + 2 x}{2 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Etapa 4.3.6.6

Some $3 x$ e $2 x$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{2 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Etapa 4.3.7

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{2 + 3 x + x \cdot - 3 - 1 \cdot - 3}$

Etapa 4.3.7.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $x$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{2 + 3 x - 3 \cdot x - 1 \cdot - 3}$

Etapa 4.3.7.3

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{2 + 3 x - 3 \cdot x + 3}$

Etapa 4.3.7.4

Some $2$ e $3$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{3 x - 3 x + 5}$

Etapa 4.3.7.5

Subtraia $3 x$ de $3 x$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{0 + 5}$

Etapa 4.3.7.6

Some $0$ e $5$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{5}$

Etapa 4.3.8

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.8.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{5}$

Etapa 4.3.8.2

Divida $x$ por $1$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{2 + 3 x}{x - 1}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x + 2}{x - 3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 + 3 x}{x - 1}$