Pré-cálculo Exemplos

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64}$

Etapa 1

Esta é uma progressão geométrica, pois existe uma razão comum entre cada termo. Nesse caso, multiplicar o termo anterior na progressão por $\frac{1}{2}$ resulta no próximo termo. Em outras palavras, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Progressão geométrica: $r = \frac{1}{2}$

Etapa 2

Esta é a forma de uma progressão geométrica.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Etapa 3

Substitua os valores de $a_{1} = 1$ e $r = \frac{1}{2}$ .

$a_{n} = 1 {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$

Etapa 4

Multiplique ${(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ por $1$ .

$a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$

Etapa 5

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$a_{n} = \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}}$

Etapa 6

Um elevado a qualquer potência é um.

$a_{n} = \frac{1}{2^{n - 1}}$

Etapa 7

Esta é a fórmula para encontrar a soma dos $n$ primeiros termos da progressão geométrica. Para avaliá-la, encontre os valores de $r$ e $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Etapa 8

Substitua as variáveis pelos valores conhecidos para encontrar $S_{7}$ .

$S_{7} = 1 \cdot \frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Etapa 9

Multiplique $\frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$ por $1$ .

$S_{7} = \frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Etapa 10

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

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Etapa 10.1

Multiplique $\frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$S_{7} = \frac{2}{2} \cdot \frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Etapa 10.2

Combine.

$S_{7} = \frac{2 ({(\frac{1}{2})}^{7} - 1)}{2 (\frac{1}{2} - 1)}$

Etapa 11

Aplique a propriedade distributiva.

$S_{7} = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{7} + 2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{2}) + 2 \cdot - 1}$

Etapa 12

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 12.1

Cancele o fator comum.

$S_{7} = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{7} + 2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{2}) + 2 \cdot - 1}$

Etapa 12.2

Reescreva a expressão.

$S_{7} = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{7} + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Etapa 13

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$S_{7} = \frac{2 (\frac{1^{7}}{2^{7}}) + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 13.2.1

Fatore $2$ de $2^{7}$ .

$S_{7} = \frac{2 (\frac{1^{7}}{2 \cdot 2^{6}}) + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Etapa 13.2.2

Cancele o fator comum.

$S_{7} = \frac{2 (\frac{1^{7}}{2 \cdot 2^{6}}) + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Etapa 13.2.3

Reescreva a expressão.

$S_{7} = \frac{\frac{1^{7}}{2^{6}} + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Etapa 13.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$S_{7} = \frac{\frac{1}{2^{6}} + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Etapa 13.4

Eleve $2$ à potência de $6$ .

$S_{7} = \frac{\frac{1}{64} + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Etapa 13.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$S_{7} = \frac{\frac{1}{64} - 2}{1 + 2 \cdot - 1}$

Etapa 13.6

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{64}{64}$ .

$S_{7} = \frac{\frac{1}{64} - 2 \cdot \frac{64}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

Etapa 13.7

Combine $- 2$ e $\frac{64}{64}$ .

$S_{7} = \frac{\frac{1}{64} + \frac{- 2 \cdot 64}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

Etapa 13.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$S_{7} = \frac{\frac{1 - 2 \cdot 64}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

Etapa 13.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.9.1

Multiplique $- 2$ por $64$ .

$S_{7} = \frac{\frac{1 - 128}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

Etapa 13.9.2

Subtraia $128$ de $1$ .

$S_{7} = \frac{\frac{- 127}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

Etapa 13.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$S_{7} = \frac{- \frac{127}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

Etapa 14

Simplifique o denominador.

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Etapa 14.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$S_{7} = \frac{- \frac{127}{64}}{1 - 2}$

Etapa 14.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$S_{7} = \frac{- \frac{127}{64}}{- 1}$

Etapa 15

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 15.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$S_{7} = \frac{\frac{127}{64}}{1}$

Etapa 15.2

Divida $\frac{127}{64}$ por $1$ .

$S_{7} = \frac{127}{64}$