Pré-cálculo Exemplos

$x^{2} - 2 y = 8 x - 10$

Etapa 1

Reescreva a equação na forma do vértice.

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Etapa 1.1

Isole $y$ no lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$- 2 y = 8 x - 10 - x^{2}$

Etapa 1.1.2

Divida cada termo em $- 2 y = 8 x - 10 - x^{2}$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 1.1.2.1

Divida cada termo em $- 2 y = 8 x - 10 - x^{2}$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{8 x}{- 2} + \frac{- 10}{- 2} + \frac{- x^{2}}{- 2}$

Etapa 1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{8 x}{- 2} + \frac{- 10}{- 2} + \frac{- x^{2}}{- 2}$

Etapa 1.1.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{8 x}{- 2} + \frac{- 10}{- 2} + \frac{- x^{2}}{- 2}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $8$ e $- 2$ .

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Etapa 1.1.2.3.1.1.1

Fatore $2$ de $8 x$ .

$y = \frac{2 (4 x)}{- 2} + \frac{- 10}{- 2} + \frac{- x^{2}}{- 2}$

Etapa 1.1.2.3.1.1.2

Mova o número negativo do denominador de $\frac{4 x}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (4 x) + \frac{- 10}{- 2} + \frac{- x^{2}}{- 2}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot (4 x)$ como $- (4 x)$ .

$y = - (4 x) + \frac{- 10}{- 2} + \frac{- x^{2}}{- 2}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$y = - 4 x + \frac{- 10}{- 2} + \frac{- x^{2}}{- 2}$

Etapa 1.1.2.3.1.4

Divida $- 10$ por $- 2$ .

$y = - 4 x + 5 + \frac{- x^{2}}{- 2}$

Etapa 1.1.2.3.1.5

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y = - 4 x + 5 + \frac{x^{2}}{2}$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $- 4 x + 5 + \frac{x^{2}}{2}$ .

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Etapa 1.2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.1.1

Mova $5$ .

$- 4 x + \frac{x^{2}}{2} + 5$

Etapa 1.2.1.2

Reordene $- 4 x$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} - 4 x + 5$

Etapa 1.2.2

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = - 4$

$c = 5$

Etapa 1.2.3

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.4.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

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Etapa 1.2.4.2.1.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.4.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 1.2.4.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 2}{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.2.4.2.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = - 2 \cdot 2$

Etapa 1.2.4.2.3

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$d = - 4$

Etapa 1.2.5

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 1.2.5.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 5 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Etapa 1.2.5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.5.2.1.1

Cancele o fator comum de ${(- 4)}^{2}$ e $4$ .

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Etapa 1.2.5.2.1.1.1

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$e = 5 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Etapa 1.2.5.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $- 1 (4)$ .

$e = 5 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Etapa 1.2.5.2.1.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$e = 5 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Etapa 1.2.5.2.1.1.4

Multiplique $4^{2}$ por $1$ .

$e = 5 - \frac{4^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Etapa 1.2.5.2.1.1.5

Fatore $4$ de $4^{2}$ .

$e = 5 - \frac{4 \cdot 4}{4 (\frac{1}{2})}$

Etapa 1.2.5.2.1.1.6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.5.2.1.1.6.1

Cancele o fator comum.

$e = 5 - \frac{4 \cdot 4}{4 (\frac{1}{2})}$

Etapa 1.2.5.2.1.1.6.2

Reescreva a expressão.

$e = 5 - \frac{4}{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.2.5.2.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e = 5 - (4 \cdot 2)$

Etapa 1.2.5.2.1.3

Multiplique $- (4 \cdot 2)$ .

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Etapa 1.2.5.2.1.3.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$e = 5 - 1 \cdot 8$

Etapa 1.2.5.2.1.3.2

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$e = 5 - 8$

Etapa 1.2.5.2.2

Subtraia $8$ de $5$ .

$e = - 3$

Etapa 1.2.6

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $\frac{1}{2} {(x - 4)}^{2} - 3$ .

$\frac{1}{2} {(x - 4)}^{2} - 3$

Etapa 1.3

Defina $y$ como igual ao novo lado direito.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x - 4)}^{2} - 3$

Etapa 2

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = 4$

$k = - 3$

Etapa 3

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para cima.

Abre para cima

Etapa 4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(4, - 3)$

Etapa 5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Etapa 5.3.2

Divida $4$ por $2$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 6

Encontre o foco.

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Etapa 6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(4, - \frac{5}{2})$

Etapa 7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = 4$

Etapa 8

Encontre a diretriz.

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Etapa 8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = - \frac{7}{2}$

Etapa 9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para cima

Vértice: $(4, - 3)$

Foco: $(4, - \frac{5}{2})$

Eixo de simetria: $x = 4$

Diretriz: $y = - \frac{7}{2}$

Etapa 10