Pré-cálculo Exemplos

$\cos (x) > 0$ , $\sec (x) > 0$

Etapa 1

Simplifique a primeira desigualdade.

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Etapa 1.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x > \arccos (0)$ e $\sec (x) > 0$

Etapa 1.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x > \frac{π}{2}$ e $\sec (x) > 0$

Etapa 1.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$ e $\sec (x) > 0$

Etapa 1.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 1.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$ e $\sec (x) > 0$

Etapa 1.4.2

Combine frações.

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Etapa 1.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$ e $\sec (x) > 0$

Etapa 1.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$ e $\sec (x) > 0$

Etapa 1.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.4.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$ e $\sec (x) > 0$

Etapa 1.4.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$ e $\sec (x) > 0$

Etapa 1.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 1.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 1.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 1.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 1.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 1.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ e $\sec (x) > 0$

Etapa 1.7

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{2} + π n$ e $\sec (x) > 0$

Etapa 1.8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ e $\sec (x) > 0$

Etapa 1.9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 1.9.1

Teste um valor no intervalo $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.9.1.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$ e $\sec (x) > 0$

Etapa 1.9.1.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$\cos (3) > 0$ e $\sec (x) > 0$

Etapa 1.9.1.3

O lado esquerdo $- 0.98999249$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso e $\sec (x) > 0$

Etapa 1.9.2

Teste um valor no intervalo $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.9.2.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$ e $\sec (x) > 0$

Etapa 1.9.2.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\cos (6) > 0$ e $\sec (x) > 0$

Etapa 1.9.2.3

O lado esquerdo $0.96017028$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro e $\sec (x) > 0$

Etapa 1.9.3

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ Falso

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ True and $\sec (x) > 0$

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ Falso

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ True and $\sec (x) > 0$

Etapa 1.10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$\frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{2} + 2 π n$ e $\sec (x) > 0$

Etapa 2

O intervalo da secante é $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Como $0$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução