Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{60} = 1$

Etapa 1

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{60} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma hipérbole. Use-a para determinar os valores usados para encontrar os vértices e as assíntotas da hipérbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta hipérbole com os da forma padrão. A variável $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem, $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem, $a$ .

$a = 2$

$b = 2 \sqrt{15}$

$k = 0$

$h = 0$

Etapa 4

O centro de uma hipérbole segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(2 \sqrt{15})}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{4 + {(2 \sqrt{15})}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{15}$ .

$\sqrt{4 + 2^{2} {\sqrt{15}}^{2}}$

Etapa 5.3.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{4 + 4 {\sqrt{15}}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Reescreva ${\sqrt{15}}^{2}$ como $15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{15}$ como $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 + 4 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 + 4 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{4 + 4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 15^{1}}$

Etapa 5.3.2.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 15}$

Etapa 5.3.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Multiplique $4$ por $15$ .

$\sqrt{4 + 60}$

Etapa 5.3.3.2

Some $4$ e $60$ .

$\sqrt{64}$

Etapa 5.3.3.3

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$\sqrt{8^{2}}$

Etapa 5.3.3.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$8$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $a$ com $h$ .

$(h + a, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(2, 0)$

Etapa 6.3

O segundo vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Etapa 6.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 2, 0)$

Etapa 6.5

Os vértices de uma hipérbole seguem a forma $(h \pm a, k)$ . As hipérboles têm dois vértices.

$(2, 0), (- 2, 0)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $c$ com $h$ .

$(h + c, k)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(8, 0)$

Etapa 7.3

O segundo foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Etapa 7.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 8, 0)$

Etapa 7.5

O ponto imaginário de uma hipérbole segue a forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . As hipérboles têm dois pontos imaginários.

$(8, 0), (- 8, 0)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

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Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(2 \sqrt{15})}^{2}}}{2}$

Etapa 8.3

Simplifique.

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Etapa 8.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + {(2 \sqrt{15})}^{2}}}{2}$

Etapa 8.3.1.2

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{15}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2^{2} {\sqrt{15}}^{2}}}{2}$

Etapa 8.3.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 {\sqrt{15}}^{2}}}{2}$

Etapa 8.3.1.4

Reescreva ${\sqrt{15}}^{2}$ como $15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{15}$ como $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

Etapa 8.3.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

Etapa 8.3.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Etapa 8.3.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Etapa 8.3.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 15^{1}}}{2}$

Etapa 8.3.1.4.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 15}}{2}$

Etapa 8.3.1.5

Multiplique $4$ por $15$ .

$\frac{\sqrt{4 + 60}}{2}$

Etapa 8.3.1.6

Some $4$ e $60$ .

$\frac{\sqrt{64}}{2}$

Etapa 8.3.1.7

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$\frac{\sqrt{8^{2}}}{2}$

Etapa 8.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{8}{2}$

Etapa 8.3.2

Divida $8$ por $2$ .

$4$

Etapa 9

Encontre o parâmetro focal.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Encontre o valor do parâmetro focal da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Etapa 9.2

Substitua os valores de $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ na fórmula.

$\frac{2 {\sqrt{15}}^{2}}{8}$

Etapa 9.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Cancele o fator comum de $2$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1.1

Fatore $2$ de $2 {\sqrt{15}}^{2}$ .

$\frac{2 ({\sqrt{15}}^{2})}{8}$

Etapa 9.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{2 {\sqrt{15}}^{2}}{2 \cdot 4}$

Etapa 9.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 {\sqrt{15}}^{2}}{2 \cdot 4}$

Etapa 9.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{{\sqrt{15}}^{2}}{4}$

Etapa 9.3.2

Reescreva ${\sqrt{15}}^{2}$ como $15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{15}$ como $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Etapa 9.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Etapa 9.3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{15^{\frac{2}{2}}}{4}$

Etapa 9.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{15^{\frac{2}{2}}}{4}$

Etapa 9.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{15^{1}}{4}$

Etapa 9.3.2.5

Avalie o expoente.

$\frac{15}{4}$

Etapa 10

As assíntotas seguem a forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , porque esta hipérbole se abre para a esquerda e para a direita.

$y = \pm \sqrt{15} \cdot x + 0$

Etapa 11

Some $\sqrt{15} \cdot x$ e $0$ .

$y = \sqrt{15} x$

Etapa 12

Some $- \sqrt{15} \cdot x$ e $0$ .

$y = - \sqrt{15} x$

Etapa 13

Essa hipérbole tem duas assíntotas.

$y = \sqrt{15} x, y = - \sqrt{15} x$

Etapa 14

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma hipérbole.

Centro: $(0, 0)$

Vértices: $(2, 0), (- 2, 0)$

Ponto imaginário: $(8, 0), (- 8, 0)$

Excentricidade: $4$

Parâmetro focal: $\frac{15}{4}$

Assíntotas: $y = \sqrt{15} x$ , $y = - \sqrt{15} x$

Etapa 15