Pré-cálculo Exemplos

$25 x^{2} + 4 y - 100 x - 16 y + 16 = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Isole $y$ no lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Subtraia $16 y$ de $4 y$ .

$25 x^{2} - 100 x - 12 y + 16 = 0$

Etapa 1.1.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Subtraia $25 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$- 100 x - 12 y + 16 = - 25 x^{2}$

Etapa 1.1.2.2

Some $100 x$ aos dois lados da equação.

$- 12 y + 16 = - 25 x^{2} + 100 x$

Etapa 1.1.2.3

Subtraia $16$ dos dois lados da equação.

$- 12 y = - 25 x^{2} + 100 x - 16$

Etapa 1.1.3

Divida cada termo em $- 12 y = - 25 x^{2} + 100 x - 16$ por $- 12$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Divida cada termo em $- 12 y = - 25 x^{2} + 100 x - 16$ por $- 12$ .

$\frac{- 12 y}{- 12} = \frac{- 25 x^{2}}{- 12} + \frac{100 x}{- 12} + \frac{- 16}{- 12}$

Etapa 1.1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 12 y}{- 12} = \frac{- 25 x^{2}}{- 12} + \frac{100 x}{- 12} + \frac{- 16}{- 12}$

Etapa 1.1.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 25 x^{2}}{- 12} + \frac{100 x}{- 12} + \frac{- 16}{- 12}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y = \frac{25 x^{2}}{12} + \frac{100 x}{- 12} + \frac{- 16}{- 12}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Cancele o fator comum de $100$ e $- 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1.2.1

Fatore $4$ de $100 x$ .

$y = \frac{25 x^{2}}{12} + \frac{4 (25 x)}{- 12} + \frac{- 16}{- 12}$

Etapa 1.1.3.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1.2.2.1

Fatore $4$ de $- 12$ .

$y = \frac{25 x^{2}}{12} + \frac{4 (25 x)}{4 (- 3)} + \frac{- 16}{- 12}$

Etapa 1.1.3.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{25 x^{2}}{12} + \frac{4 (25 x)}{4 \cdot - 3} + \frac{- 16}{- 12}$

Etapa 1.1.3.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{25 x^{2}}{12} + \frac{25 x}{- 3} + \frac{- 16}{- 12}$

Etapa 1.1.3.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{25 x^{2}}{12} - \frac{25 x}{3} + \frac{- 16}{- 12}$

Etapa 1.1.3.3.1.4

Cancele o fator comum de $- 16$ e $- 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1.4.1

Fatore $- 4$ de $- 16$ .

$y = \frac{25 x^{2}}{12} - \frac{25 x}{3} + \frac{- 4 (4)}{- 12}$

Etapa 1.1.3.3.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1.4.2.1

Fatore $- 4$ de $- 12$ .

$y = \frac{25 x^{2}}{12} - \frac{25 x}{3} + \frac{- 4 \cdot 4}{- 4 \cdot 3}$

Etapa 1.1.3.3.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{25 x^{2}}{12} - \frac{25 x}{3} + \frac{- 4 \cdot 4}{- 4 \cdot 3}$

Etapa 1.1.3.3.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{25 x^{2}}{12} - \frac{25 x}{3} + \frac{4}{3}$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $\frac{25 x^{2}}{12} - \frac{25 x}{3} + \frac{4}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = \frac{25}{12}$

$b = - \frac{25}{3}$

$c = \frac{4}{3}$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{25}{3}}{2 (\frac{25}{12})}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = - \frac{25}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{25}{12})}$

Etapa 1.2.3.2.2

Combine $2$ e $\frac{25}{12}$ .

$d = - \frac{25}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 25}{12}}$

Etapa 1.2.3.2.3

Multiplique $2$ por $25$ .

$d = - \frac{25}{3} \cdot \frac{1}{\frac{50}{12}}$

Etapa 1.2.3.2.4

Cancele o fator comum de $50$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.4.1

Fatore $2$ de $50$ .

$d = - \frac{25}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2 (25)}{12}}$

Etapa 1.2.3.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.4.2.1

Fatore $2$ de $12$ .

$d = - \frac{25}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 6}}$

Etapa 1.2.3.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$d = - \frac{25}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 6}}$

Etapa 1.2.3.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$d = - \frac{25}{3} \cdot \frac{1}{\frac{25}{6}}$

Etapa 1.2.3.2.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = - \frac{25}{3} (1 (\frac{6}{25}))$

Etapa 1.2.3.2.6

Multiplique $\frac{6}{25}$ por $1$ .

$d = - \frac{25}{3} \cdot \frac{6}{25}$

Etapa 1.2.3.2.7

Cancele o fator comum de $25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.7.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{25}{3}$ para o numerador.

$d = \frac{- 25}{3} \cdot \frac{6}{25}$

Etapa 1.2.3.2.7.2

Fatore $25$ de $- 25$ .

$d = \frac{25 (- 1)}{3} \cdot \frac{6}{25}$

Etapa 1.2.3.2.7.3

Cancele o fator comum.

$d = \frac{25 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{6}{25}$

Etapa 1.2.3.2.7.4

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 1}{3} \cdot 6$

Etapa 1.2.3.2.8

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.8.1

Fatore $3$ de $6$ .

$d = \frac{- 1}{3} \cdot (3 (2))$

Etapa 1.2.3.2.8.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

Etapa 1.2.3.2.8.3

Reescreva a expressão.

$d = - 1 \cdot 2$

Etapa 1.2.3.2.9

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$d = - 2$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{{(- \frac{25}{3})}^{2}}{4 (\frac{25}{12})}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{25}{3}$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{25}{3})}^{2}}{4 (\frac{25}{12})}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{1 {(\frac{25}{3})}^{2}}{4 (\frac{25}{12})}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.3

Aplique a regra do produto a $\frac{25}{3}$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{1 \frac{25^{2}}{3^{2}}}{4 (\frac{25}{12})}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.4

Eleve $25$ à potência de $2$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{1 \frac{625}{3^{2}}}{4 (\frac{25}{12})}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.5

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{1 (\frac{625}{9})}{4 (\frac{25}{12})}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.6

Multiplique $\frac{625}{9}$ por $1$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{625}{9}}{4 (\frac{25}{12})}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Combine $4$ e $\frac{25}{12}$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{625}{9}}{\frac{4 \cdot 25}{12}}$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Multiplique $4$ por $25$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{625}{9}}{\frac{100}{12}}$

Etapa 1.2.4.2.1.4

Cancele o fator comum de $100$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.4.1

Fatore $4$ de $100$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{625}{9}}{\frac{4 (25)}{12}}$

Etapa 1.2.4.2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.4.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{625}{9}}{\frac{4 \cdot 25}{4 \cdot 3}}$

Etapa 1.2.4.2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{625}{9}}{\frac{4 \cdot 25}{4 \cdot 3}}$

Etapa 1.2.4.2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{625}{9}}{\frac{25}{3}}$

Etapa 1.2.4.2.1.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e = \frac{4}{3} - (\frac{625}{9} \cdot \frac{3}{25})$

Etapa 1.2.4.2.1.6

Cancele o fator comum de $25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.6.1

Fatore $25$ de $625$ .

$e = \frac{4}{3} - (\frac{25 (25)}{9} \cdot \frac{3}{25})$

Etapa 1.2.4.2.1.6.2

Cancele o fator comum.

$e = \frac{4}{3} - (\frac{25 \cdot 25}{9} \cdot \frac{3}{25})$

Etapa 1.2.4.2.1.6.3

Reescreva a expressão.

$e = \frac{4}{3} - (\frac{25}{9} \cdot 3)$

Etapa 1.2.4.2.1.7

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.7.1

Fatore $3$ de $9$ .

$e = \frac{4}{3} - (\frac{25}{3 (3)} \cdot 3)$

Etapa 1.2.4.2.1.7.2

Cancele o fator comum.

$e = \frac{4}{3} - (\frac{25}{3 \cdot 3} \cdot 3)$

Etapa 1.2.4.2.1.7.3

Reescreva a expressão.

$e = \frac{4}{3} - \frac{25}{3}$

Etapa 1.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e = \frac{4 - 25}{3}$

Etapa 1.2.4.2.3

Subtraia $25$ de $4$ .

$e = \frac{- 21}{3}$

Etapa 1.2.4.2.4

Divida $- 21$ por $3$ .

$e = - 7$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $\frac{25}{12} {(x - 2)}^{2} - 7$ .

$\frac{25}{12} {(x - 2)}^{2} - 7$

Etapa 1.3

Defina $y$ como igual ao novo lado direito.

$y = \frac{25}{12} \cdot {(x - 2)}^{2} - 7$

Etapa 2

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{25}{12}$

$h = 2$

$k = - 7$

Etapa 3

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para cima.

Abre para cima

Etapa 4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(2, - 7)$

Etapa 5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{25}{12}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Combine $4$ e $\frac{25}{12}$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 25}{12}}$

Etapa 5.3.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Multiplique $4$ por $25$ .

$\frac{1}{\frac{100}{12}}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $100$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Fatore $4$ de $100$ .

$\frac{1}{\frac{4 (25)}{12}}$

Etapa 5.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 25}{4 \cdot 3}}$

Etapa 5.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 25}{4 \cdot 3}}$

Etapa 5.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\frac{25}{3}}$

Etapa 5.3.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$1 (\frac{3}{25})$

Etapa 5.3.4

Multiplique $\frac{3}{25}$ por $1$ .

$\frac{3}{25}$

Etapa 6

Encontre o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(2, - \frac{172}{25})$

Etapa 7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = 2$

Etapa 8

Encontre a diretriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = - \frac{178}{25}$

Etapa 9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para cima

Vértice: $(2, - 7)$

Foco: $(2, - \frac{172}{25})$

Eixo de simetria: $x = 2$

Diretriz: $y = - \frac{178}{25}$

Etapa 10