Pré-cálculo Exemplos

$y^{2} - 2 y - x = 2$

Etapa 1

Reescreva a equação na forma do vértice.

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Etapa 1.1

Isole $x$ no lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.1.1.1

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$- 2 y - x = 2 - y^{2}$

Etapa 1.1.1.2

Some $2 y$ aos dois lados da equação.

$- x = 2 - y^{2} + 2 y$

Etapa 1.1.2

Divida cada termo em $- x = 2 - y^{2} + 2 y$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 1.1.2.1

Divida cada termo em $- x = 2 - y^{2} + 2 y$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{2}{- 1} + \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{2 y}{- 1}$

Etapa 1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{2}{- 1} + \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{2 y}{- 1}$

Etapa 1.1.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{- 1} + \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{2 y}{- 1}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Divida $2$ por $- 1$ .

$x = - 2 + \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{2 y}{- 1}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = - 2 + \frac{y^{2}}{1} + \frac{2 y}{- 1}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$x = - 2 + y^{2} + \frac{2 y}{- 1}$

Etapa 1.1.2.3.1.4

Mova o número negativo do denominador de $\frac{2 y}{- 1}$ .

$x = - 2 + y^{2} - 1 \cdot (2 y)$

Etapa 1.1.2.3.1.5

Reescreva $- 1 \cdot (2 y)$ como $- (2 y)$ .

$x = - 2 + y^{2} - (2 y)$

Etapa 1.1.2.3.1.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x = - 2 + y^{2} - 2 y$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $- 2 + y^{2} - 2 y$ .

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Etapa 1.2.1

Mova $- 2$ .

$y^{2} - 2 y - 2$

Etapa 1.2.2

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = - 2$

$c = - 2$

Etapa 1.2.3

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 1.2.4.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.4.2.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Etapa 1.2.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 1}{1}$

Etapa 1.2.4.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Etapa 1.2.5

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 1.2.5.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 2 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.5.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$e = - 2 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$e = - 2 - \frac{4}{4}$

Etapa 1.2.5.2.1.3

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 1.2.5.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$e = - 2 - \frac{4}{4}$

Etapa 1.2.5.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$e = - 2 - 1 \cdot 1$

Etapa 1.2.5.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e = - 2 - 1$

Etapa 1.2.5.2.2

Subtraia $1$ de $- 2$ .

$e = - 3$

Etapa 1.2.6

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(y - 1)}^{2} - 3$ .

${(y - 1)}^{2} - 3$

Etapa 1.3

Defina $x$ como igual ao novo lado direito.

$x = {(y - 1)}^{2} - 3$

Etapa 2

Use a forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 1$

$h = - 3$

$k = 1$

Etapa 3

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para a direita.

Abre para a direita

Etapa 4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- 3, 1)$

Etapa 5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Etapa 5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4}$

Etapa 6

Encontre o foco.

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Etapa 6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada x $h$ , se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$(h + p, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- \frac{11}{4}, 1)$

Etapa 7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$y = 1$

Etapa 8

Encontre a diretriz.

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Etapa 8.1

A diretriz de uma parábola é a reta vertical encontrada ao subtrair $p$ da coordenada x $h$ do vértice se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$x = h - p$

Etapa 8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $h$ na fórmula e simplifique.

$x = - \frac{13}{4}$

Etapa 9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para a direita

Vértice: $(- 3, 1)$

Foco: $(- \frac{11}{4}, 1)$

Eixo de simetria: $y = 1$

Diretriz: $x = - \frac{13}{4}$

Etapa 10