Pré-cálculo Exemplos

$y^{2} = 5 (x + 2 y)$

Etapa 1

Reescreva a equação na forma do vértice.

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Etapa 1.1

Isole $x$ no lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1.1

Reescreva a equação como $5 (x + 2 y) = y^{2}$ .

$5 (x + 2 y) = y^{2}$

Etapa 1.1.2

Divida cada termo em $5 (x + 2 y) = y^{2}$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 1.1.2.1

Divida cada termo em $5 (x + 2 y) = y^{2}$ por $5$ .

$\frac{5 (x + 2 y)}{5} = \frac{y^{2}}{5}$

Etapa 1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (x + 2 y)}{5} = \frac{y^{2}}{5}$

Etapa 1.1.2.2.1.2

Divida $x + 2 y$ por $1$ .

$x + 2 y = \frac{y^{2}}{5}$

Etapa 1.1.3

Subtraia $2 y$ dos dois lados da equação.

$x = \frac{y^{2}}{5} - 2 y$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $\frac{y^{2}}{5} - 2 y$ .

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Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = \frac{1}{5}$

$b = - 2$

$c = 0$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 (\frac{1}{5})}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 1.2.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{5})}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{5})}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 1}{\frac{1}{5}}$

Etapa 1.2.3.2.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = - 1 \cdot 5$

Etapa 1.2.3.2.3

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$d = - 5$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 (\frac{1}{5})}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.4.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 (\frac{1}{5})}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Combine $4$ e $\frac{1}{5}$ .

$e = 0 - \frac{4}{\frac{4}{5}}$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e = 0 - (4 (\frac{5}{4}))$

Etapa 1.2.4.2.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 1.2.4.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$e = 0 - (4 (\frac{5}{4}))$

Etapa 1.2.4.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$e = 0 - 1 \cdot 5$

Etapa 1.2.4.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$e = 0 - 5$

Etapa 1.2.4.2.2

Subtraia $5$ de $0$ .

$e = - 5$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $\frac{1}{5} {(y - 5)}^{2} - 5$ .

$\frac{1}{5} {(y - 5)}^{2} - 5$

Etapa 1.3

Defina $x$ como igual ao novo lado direito.

$x = \frac{1}{5} \cdot {(y - 5)}^{2} - 5$

Etapa 2

Use a forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{1}{5}$

$h = - 5$

$k = 5$

Etapa 3

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para a direita.

Abre para a direita

Etapa 4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- 5, 5)$

Etapa 5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{5}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Combine $4$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{5}}$

Etapa 5.3.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$1 (\frac{5}{4})$

Etapa 5.3.3

Multiplique $\frac{5}{4}$ por $1$ .

$\frac{5}{4}$

Etapa 6

Encontre o foco.

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Etapa 6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada x $h$ , se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$(h + p, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- \frac{15}{4}, 5)$

Etapa 7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$y = 5$

Etapa 8

Encontre a diretriz.

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Etapa 8.1

A diretriz de uma parábola é a reta vertical encontrada ao subtrair $p$ da coordenada x $h$ do vértice se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$x = h - p$

Etapa 8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $h$ na fórmula e simplifique.

$x = - \frac{25}{4}$

Etapa 9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para a direita

Vértice: $(- 5, 5)$

Foco: $(- \frac{15}{4}, 5)$

Eixo de simetria: $y = 5$

Diretriz: $x = - \frac{25}{4}$

Etapa 10