Pré-cálculo Exemplos

$y^{2} - 10 y + 4 x + 25 = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação na forma do vértice.

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Etapa 1.1

Isole $x$ no lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.1.1.1

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$- 10 y + 4 x + 25 = - y^{2}$

Etapa 1.1.1.2

Some $10 y$ aos dois lados da equação.

$4 x + 25 = - y^{2} + 10 y$

Etapa 1.1.1.3

Subtraia $25$ dos dois lados da equação.

$4 x = - y^{2} + 10 y - 25$

Etapa 1.1.2

Divida cada termo em $4 x = - y^{2} + 10 y - 25$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 1.1.2.1

Divida cada termo em $4 x = - y^{2} + 10 y - 25$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{10 y}{4} + \frac{- 25}{4}$

Etapa 1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{10 y}{4} + \frac{- 25}{4}$

Etapa 1.1.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{10 y}{4} + \frac{- 25}{4}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{10 y}{4} + \frac{- 25}{4}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $10$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $10 y$ .

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{2 (5 y)}{4} + \frac{- 25}{4}$

Etapa 1.1.2.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{2 (5 y)}{2 (2)} + \frac{- 25}{4}$

Etapa 1.1.2.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{2 (5 y)}{2 \cdot 2} + \frac{- 25}{4}$

Etapa 1.1.2.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{2} + \frac{- 25}{4}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{2} - \frac{25}{4}$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $- \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{2} - \frac{25}{4}$ .

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Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$b = \frac{5}{2}$

$c = - \frac{25}{4}$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{5}{2}}{2 (- \frac{1}{4})}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{4})}$

Etapa 1.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

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Etapa 1.2.3.2.2.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{5}{2} \cdot \frac{- 1 (- 1)}{2 (- \frac{1}{4})}$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$d = \frac{5}{2} (- \frac{1}{2 (\frac{1}{4})})$

Etapa 1.2.3.2.3

Combine $2$ e $\frac{1}{4}$ .

$d = \frac{5}{2} (- \frac{1}{\frac{2}{4}})$

Etapa 1.2.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$d = \frac{5}{2} (- \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}})$

Etapa 1.2.3.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$d = \frac{5}{2} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}})$

Etapa 1.2.3.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{5}{2} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}})$

Etapa 1.2.3.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{5}{2} (- \frac{1}{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.2.3.2.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = \frac{5}{2} (- (1 \cdot 2))$

Etapa 1.2.3.2.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.3.2.6.1

Fatore $2$ de $- (1 \cdot 2)$ .

$d = \frac{5}{2} (2 (- 1 \cdot (1)))$

Etapa 1.2.3.2.6.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{5}{2} (2 (- 1 \cdot (1)))$

Etapa 1.2.3.2.6.3

Reescreva a expressão.

$d = 5 (- 1 \cdot (1))$

Etapa 1.2.3.2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$d = 5 \cdot - 1$

Etapa 1.2.3.2.8

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$d = - 5$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{25}{4} - \frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.4.2.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.4.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{2}$ .

$e = - \frac{25}{4} - \frac{\frac{5^{2}}{2^{2}}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$e = - \frac{25}{4} - \frac{\frac{25}{2^{2}}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$e = - \frac{25}{4} - \frac{\frac{25}{4}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.2.4.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$e = - \frac{25}{4} - \frac{\frac{25}{4}}{- 4 (\frac{1}{4})}$

Etapa 1.2.4.2.1.2.2

Combine $- 4$ e $\frac{1}{4}$ .

$e = - \frac{25}{4} - \frac{\frac{25}{4}}{\frac{- 4}{4}}$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Divida $- 4$ por $4$ .

$e = - \frac{25}{4} - \frac{\frac{25}{4}}{- 1}$

Etapa 1.2.4.2.1.4

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\frac{25}{4}}{- 1}$ .

$e = - \frac{25}{4} - (- 1 \cdot \frac{25}{4})$

Etapa 1.2.4.2.1.5

Reescreva $- 1 \cdot \frac{25}{4}$ como $- \frac{25}{4}$ .

$e = - \frac{25}{4} - - \frac{25}{4}$

Etapa 1.2.4.2.1.6

Multiplique $- - \frac{25}{4}$ .

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Etapa 1.2.4.2.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e = - \frac{25}{4} + 1 (\frac{25}{4})$

Etapa 1.2.4.2.1.6.2

Multiplique $\frac{25}{4}$ por $1$ .

$e = - \frac{25}{4} + \frac{25}{4}$

Etapa 1.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e = \frac{- 25 + 25}{4}$

Etapa 1.2.4.2.3

Some $- 25$ e $25$ .

$e = \frac{0}{4}$

Etapa 1.2.4.2.4

Divida $0$ por $4$ .

$e = 0$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- \frac{1}{4} {(y - 5)}^{2} + 0$ .

$- \frac{1}{4} {(y - 5)}^{2} + 0$

Etapa 1.3

Defina $x$ como igual ao novo lado direito.

$x = - \frac{1}{4} \cdot {(y - 5)}^{2} + 0$

Etapa 2

Use a forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$h = 0$

$k = 5$

Etapa 3

Como o valor de $a$ é negativo, a parábola abre para a esquerda.

Abre para a esquerda

Etapa 4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(0, 5)$

Etapa 5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

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Etapa 5.3.1.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Etapa 5.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Etapa 5.3.2

Combine $4$ e $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Etapa 5.3.3

Divida $4$ por $4$ .

$- \frac{1}{1}$

Etapa 5.3.4

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 5.3.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{1}$

Etapa 5.3.4.2

Reescreva a expressão.

$- 1 \cdot 1$

Etapa 5.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 6

Encontre o foco.

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Etapa 6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada x $h$ , se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$(h + p, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 1, 5)$

Etapa 7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$y = 5$

Etapa 8

Encontre a diretriz.

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Etapa 8.1

A diretriz de uma parábola é a reta vertical encontrada ao subtrair $p$ da coordenada x $h$ do vértice se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$x = h - p$

Etapa 8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $h$ na fórmula e simplifique.

$x = 1$

Etapa 9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para a esquerda

Vértice: $(0, 5)$

Foco: $(- 1, 5)$

Eixo de simetria: $y = 5$

Diretriz: $x = 1$

Etapa 10