Pré-cálculo Exemplos

$12 y + x^{2} - 4 x = - 16$

Etapa 1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Isole $y$ no lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$12 y - 4 x = - 16 - x^{2}$

Etapa 1.1.1.2

Some $4 x$ aos dois lados da equação.

$12 y = - 16 - x^{2} + 4 x$

Etapa 1.1.2

Divida cada termo em $12 y = - 16 - x^{2} + 4 x$ por $12$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Divida cada termo em $12 y = - 16 - x^{2} + 4 x$ por $12$ .

$\frac{12 y}{12} = \frac{- 16}{12} + \frac{- x^{2}}{12} + \frac{4 x}{12}$

Etapa 1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12 y}{12} = \frac{- 16}{12} + \frac{- x^{2}}{12} + \frac{4 x}{12}$

Etapa 1.1.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 16}{12} + \frac{- x^{2}}{12} + \frac{4 x}{12}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $- 16$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1.1

Fatore $4$ de $- 16$ .

$y = \frac{4 (- 4)}{12} + \frac{- x^{2}}{12} + \frac{4 x}{12}$

Etapa 1.1.2.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$y = \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 3} + \frac{- x^{2}}{12} + \frac{4 x}{12}$

Etapa 1.1.2.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 3} + \frac{- x^{2}}{12} + \frac{4 x}{12}$

Etapa 1.1.2.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{- 4}{3} + \frac{- x^{2}}{12} + \frac{4 x}{12}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{4}{3} + \frac{- x^{2}}{12} + \frac{4 x}{12}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{4}{3} - \frac{x^{2}}{12} + \frac{4 x}{12}$

Etapa 1.1.2.3.1.4

Cancele o fator comum de $4$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.4.1

Fatore $4$ de $4 x$ .

$y = - \frac{4}{3} - \frac{x^{2}}{12} + \frac{4 (x)}{12}$

Etapa 1.1.2.3.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.4.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$y = - \frac{4}{3} - \frac{x^{2}}{12} + \frac{4 x}{4 \cdot 3}$

Etapa 1.1.2.3.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$y = - \frac{4}{3} - \frac{x^{2}}{12} + \frac{4 x}{4 \cdot 3}$

Etapa 1.1.2.3.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$y = - \frac{4}{3} - \frac{x^{2}}{12} + \frac{x}{3}$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $- \frac{4}{3} - \frac{x^{2}}{12} + \frac{x}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Mova $- \frac{4}{3}$ .

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{x}{3} - \frac{4}{3}$

Etapa 1.2.2

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - \frac{1}{12}$

$b = \frac{1}{3}$

$c = - \frac{4}{3}$

Etapa 1.2.3

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{1}{3}}{2 (- \frac{1}{12})}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{12})}$

Etapa 1.2.4.2.2

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.2.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 (- 1)}{2 (- \frac{1}{12})}$

Etapa 1.2.4.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$d = \frac{1}{3} (- \frac{1}{2 (\frac{1}{12})})$

Etapa 1.2.4.2.3

Combine $2$ e $\frac{1}{12}$ .

$d = \frac{1}{3} (- \frac{1}{\frac{2}{12}})$

Etapa 1.2.4.2.4

Cancele o fator comum de $2$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$d = \frac{1}{3} (- \frac{1}{\frac{2 (1)}{12}})$

Etapa 1.2.4.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.4.2.1

Fatore $2$ de $12$ .

$d = \frac{1}{3} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}})$

Etapa 1.2.4.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{1}{3} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}})$

Etapa 1.2.4.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{1}{3} (- \frac{1}{\frac{1}{6}})$

Etapa 1.2.4.2.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = \frac{1}{3} (- (1 \cdot 6))$

Etapa 1.2.4.2.6

Multiplique $- (1 \cdot 6)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.6.1

Multiplique $6$ por $1$ .

$d = \frac{1}{3} (- 1 \cdot 6)$

Etapa 1.2.4.2.6.2

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$d = \frac{1}{3} \cdot - 6$

Etapa 1.2.4.2.7

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.7.1

Fatore $3$ de $- 6$ .

$d = \frac{1}{3} \cdot (3 (- 2))$

Etapa 1.2.4.2.7.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 2)$

Etapa 1.2.4.2.7.3

Reescreva a expressão.

$d = - 2$

Etapa 1.2.5

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{4}{3} - \frac{{(\frac{1}{3})}^{2}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Etapa 1.2.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$e = - \frac{4}{3} - \frac{\frac{1^{2}}{3^{2}}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Etapa 1.2.5.2.1.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$e = - \frac{4}{3} - \frac{\frac{1}{3^{2}}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Etapa 1.2.5.2.1.1.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$e = - \frac{4}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Etapa 1.2.5.2.1.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$e = - \frac{4}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{- 4 (\frac{1}{12})}$

Etapa 1.2.5.2.1.2.2

Combine $- 4$ e $\frac{1}{12}$ .

$e = - \frac{4}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{\frac{- 4}{12}}$

Etapa 1.2.5.2.1.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1.3.1

Cancele o fator comum de $- 4$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1.3.1.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$e = - \frac{4}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{\frac{4 (- 1)}{12}}$

Etapa 1.2.5.2.1.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1.3.1.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$e = - \frac{4}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}}$

Etapa 1.2.5.2.1.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$e = - \frac{4}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}}$

Etapa 1.2.5.2.1.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$e = - \frac{4}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{\frac{- 1}{3}}$

Etapa 1.2.5.2.1.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e = - \frac{4}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{- \frac{1}{3}}$

Etapa 1.2.5.2.1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e = - \frac{4}{3} - (\frac{1}{9} (- 1 \cdot 3))$

Etapa 1.2.5.2.1.5

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1.5.1

Fatore $3$ de $9$ .

$e = - \frac{4}{3} - (\frac{1}{3 (3)} (- 1 \cdot 3))$

Etapa 1.2.5.2.1.5.2

Fatore $3$ de $- 1 \cdot 3$ .

$e = - \frac{4}{3} - (\frac{1}{3 (3)} (3 \cdot - 1))$

Etapa 1.2.5.2.1.5.3

Cancele o fator comum.

$e = - \frac{4}{3} - (\frac{1}{3 \cdot 3} (3 \cdot - 1))$

Etapa 1.2.5.2.1.5.4

Reescreva a expressão.

$e = - \frac{4}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 1)$

Etapa 1.2.5.2.1.6

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$e = - \frac{4}{3} - \frac{- 1}{3}$

Etapa 1.2.5.2.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e = - \frac{4}{3} - - \frac{1}{3}$

Etapa 1.2.5.2.1.8

Multiplique $- - \frac{1}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1.8.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e = - \frac{4}{3} + 1 (\frac{1}{3})$

Etapa 1.2.5.2.1.8.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$e = - \frac{4}{3} + \frac{1}{3}$

Etapa 1.2.5.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e = \frac{- 4 + 1}{3}$

Etapa 1.2.5.2.3

Some $- 4$ e $1$ .

$e = \frac{- 3}{3}$

Etapa 1.2.5.2.4

Divida $- 3$ por $3$ .

$e = - 1$

Etapa 1.2.6

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- \frac{1}{12} {(x - 2)}^{2} - 1$ .

$- \frac{1}{12} {(x - 2)}^{2} - 1$

Etapa 1.3

Defina $y$ como igual ao novo lado direito.

$y = - \frac{1}{12} \cdot {(x - 2)}^{2} - 1$

Etapa 2

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - \frac{1}{12}$

$h = 2$

$k = - 1$

Etapa 3

Como o valor de $a$ é negativo, a parábola abre para baixo.

Abre para baixo

Etapa 4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(2, - 1)$

Etapa 5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{12})}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{12})}$

Etapa 5.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{12})}$

Etapa 5.3.2

Combine $4$ e $\frac{1}{12}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{12}}$

Etapa 5.3.3

Cancele o fator comum de $4$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Fatore $4$ de $4$ .

$- \frac{1}{\frac{4 (1)}{12}}$

Etapa 5.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Etapa 5.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Etapa 5.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Etapa 5.3.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- (1 \cdot 3)$

Etapa 5.3.5

Multiplique $- (1 \cdot 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$- 1 \cdot 3$

Etapa 5.3.5.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3$

Etapa 6

Encontre o foco.

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Etapa 6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(2, - 4)$

Etapa 7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = 2$

Etapa 8

Encontre a diretriz.

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Etapa 8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = 2$

Etapa 9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para baixo

Vértice: $(2, - 1)$

Foco: $(2, - 4)$

Eixo de simetria: $x = 2$

Diretriz: $y = 2$

Etapa 10