Pré-cálculo Exemplos

$4 x^{2} + 25 y^{2} - 100 y = 0$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da elipse.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Complete o quadrado de $25 y^{2} - 100 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 25$

$b = - 100$

$c = 0$

Etapa 1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 100}{2 \cdot 25}$

Etapa 1.1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 100$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 100$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 25}$

Etapa 1.1.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 25$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 (25)}$

Etapa 1.1.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 25}$

Etapa 1.1.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 50}{25}$

Etapa 1.1.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 50$ e $25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.2.1

Fatore $25$ de $- 50$ .

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25}$

Etapa 1.1.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.2.2.1

Fatore $25$ de $25$ .

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25 (1)}$

Etapa 1.1.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 2}{1}$

Etapa 1.1.3.2.2.2.4

Divida $- 2$ por $1$ .

$d = - 2$

Etapa 1.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 100)}^{2}}{4 \cdot 25}$

Etapa 1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.1.1

Eleve $- 100$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot 25}$

Etapa 1.1.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{100}$

Etapa 1.1.4.2.1.3

Divida $10000$ por $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 100$

Etapa 1.1.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $100$ .

$e = 0 - 100$

Etapa 1.1.4.2.2

Subtraia $100$ de $0$ .

$e = - 100$

Etapa 1.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $25 {(y - 2)}^{2} - 100$ .

$25 {(y - 2)}^{2} - 100$

Etapa 1.2

Substitua $25 {(y - 2)}^{2} - 100$ por $25 y^{2} - 100 y$ na equação $4 x^{2} + 25 y^{2} - 100 y = 0$ .

$4 x^{2} + 25 {(y - 2)}^{2} - 100 = 0$

Etapa 1.3

Mova $- 100$ para o lado direito da equação, somando $100$ aos dois lados.

$4 x^{2} + 25 {(y - 2)}^{2} = 0 + 100$

Etapa 1.4

Some $0$ e $100$ .

$4 x^{2} + 25 {(y - 2)}^{2} = 100$

Etapa 1.5

Divida cada termo por $100$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{4 x^{2}}{100} + \frac{25 {(y - 2)}^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

Etapa 1.6

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{x^{2}}{25} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = 5$

$b = 2$

$k = 2$

$h = 0$

Etapa 4

O centro de uma elipse segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(0, 2)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da elipse usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\sqrt{25 - {(2)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{25 - 1 \cdot 4}$

Etapa 5.3.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\sqrt{25 - 4}$

Etapa 5.3.4

Subtraia $4$ de $25$ .

$\sqrt{21}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma elipse pode ser encontrado ao somar $a$ com $h$ .

$(h + a, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(0 + 5, 2)$

Etapa 6.3

Simplifique.

$(5, 2)$

Etapa 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Etapa 6.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(0 - (5), 2)$

Etapa 6.6

Simplifique.

$(- 5, 2)$

Etapa 6.7

As elipses têm dois vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(5, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(5, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 2)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao somar $c$ com $h$ .

$(h + c, k)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0 + \sqrt{21}, 2)$

Etapa 7.3

Simplifique.

$(\sqrt{21}, 2)$

Etapa 7.4

O segundo foco de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Etapa 7.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0 - (\sqrt{21}), 2)$

Etapa 7.6

Simplifique.

$(- \sqrt{21}, 2)$

Etapa 7.7

As elipses têm dois pontos imaginários.

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{21}, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{21}, 2)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{21}, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{21}, 2)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} - {(2)}^{2}}}{5}$

Etapa 8.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - 2^{2}}}{5}$

Etapa 8.3.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - 1 \cdot 4}}{5}$

Etapa 8.3.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{\sqrt{25 - 4}}{5}$

Etapa 8.3.4

Subtraia $4$ de $25$ .

$\frac{\sqrt{21}}{5}$

Etapa 9

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma elipse.

Centro: $(0, 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(5, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 2)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{21}, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{21}, 2)$

Excentricidade: $\frac{\sqrt{21}}{5}$

Etapa 10