Pré-cálculo Exemplos

$4 x^{2} + 25 y^{2} = 100$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da elipse.

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Etapa 1.1

Divida cada termo por $100$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{4 x^{2}}{100} + \frac{25 y^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

Etapa 1.2

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = 5$

$b = 2$

$k = 0$

$h = 0$

Etapa 4

O centro de uma elipse segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

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Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da elipse usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\sqrt{25 - {(2)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{25 - 1 \cdot 4}$

Etapa 5.3.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\sqrt{25 - 4}$

Etapa 5.3.4

Subtraia $4$ de $25$ .

$\sqrt{21}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

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Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma elipse pode ser encontrado ao somar $a$ com $h$ .

$(h + a, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(0 + 5, 0)$

Etapa 6.3

Simplifique.

$(5, 0)$

Etapa 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Etapa 6.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(0 - (5), 0)$

Etapa 6.6

Simplifique.

$(- 5, 0)$

Etapa 6.7

As elipses têm dois vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(5, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(5, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 0)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

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Etapa 7.1

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao somar $c$ com $h$ .

$(h + c, k)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0 + \sqrt{21}, 0)$

Etapa 7.3

Simplifique.

$(\sqrt{21}, 0)$

Etapa 7.4

O segundo foco de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Etapa 7.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0 - (\sqrt{21}), 0)$

Etapa 7.6

Simplifique.

$(- \sqrt{21}, 0)$

Etapa 7.7

As elipses têm dois pontos imaginários.

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{21}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{21}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{21}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{21}, 0)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

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Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} - {(2)}^{2}}}{5}$

Etapa 8.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - 2^{2}}}{5}$

Etapa 8.3.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - 1 \cdot 4}}{5}$

Etapa 8.3.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{\sqrt{25 - 4}}{5}$

Etapa 8.3.4

Subtraia $4$ de $25$ .

$\frac{\sqrt{21}}{5}$

Etapa 9

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma elipse.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(5, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{21}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{21}, 0)$

Excentricidade: $\frac{\sqrt{21}}{5}$

Etapa 10