Pré-cálculo Exemplos

$3 x^{2} + 6 x + 4 y^{2} - 24 y - 9 = 0$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da elipse.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Some $9$ aos dois lados da equação.

$3 x^{2} + 6 x + 4 y^{2} - 24 y = 9$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $3 x^{2} + 6 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 3$

$b = 6$

$c = 0$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Fatore $2$ de $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (3)}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{3}{3}$

Etapa 1.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{3}{3}$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$d = 1$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot 3}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 3}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$e = 0 - \frac{36}{12}$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Divida $36$ por $12$ .

$e = 0 - 1 \cdot 3$

Etapa 1.2.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$e = 0 - 3$

Etapa 1.2.4.2.2

Subtraia $3$ de $0$ .

$e = - 3$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $3 {(x + 1)}^{2} - 3$ .

$3 {(x + 1)}^{2} - 3$

Etapa 1.3

Substitua $3 {(x + 1)}^{2} - 3$ por $3 x^{2} + 6 x$ na equação $3 x^{2} + 6 x + 4 y^{2} - 24 y = 9$ .

$3 {(x + 1)}^{2} - 3 + 4 y^{2} - 24 y = 9$

Etapa 1.4

Mova $- 3$ para o lado direito da equação, somando $3$ aos dois lados.

$3 {(x + 1)}^{2} + 4 y^{2} - 24 y = 9 + 3$

Etapa 1.5

Complete o quadrado de $4 y^{2} - 24 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 4$

$b = - 24$

$c = 0$

Etapa 1.5.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.5.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 24}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.5.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 24$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 24$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.5.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (4)}$

Etapa 1.5.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.5.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 12}{4}$

Etapa 1.5.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 12$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.2.1

Fatore $4$ de $- 12$ .

$d = \frac{4 \cdot - 3}{4}$

Etapa 1.5.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.2.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 3}{4 (1)}$

Etapa 1.5.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.5.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 3}{1}$

Etapa 1.5.3.2.2.2.4

Divida $- 3$ por $1$ .

$d = - 3$

Etapa 1.5.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Etapa 1.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.1

Eleve $- 24$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 4}$

Etapa 1.5.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{576}{16}$

Etapa 1.5.4.2.1.3

Divida $576$ por $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Etapa 1.5.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $36$ .

$e = 0 - 36$

Etapa 1.5.4.2.2

Subtraia $36$ de $0$ .

$e = - 36$

Etapa 1.5.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $4 {(y - 3)}^{2} - 36$ .

$4 {(y - 3)}^{2} - 36$

Etapa 1.6

Substitua $4 {(y - 3)}^{2} - 36$ por $4 y^{2} - 24 y$ na equação $3 x^{2} + 6 x + 4 y^{2} - 24 y = 9$ .

$3 {(x + 1)}^{2} + 4 {(y - 3)}^{2} - 36 = 9 + 3$

Etapa 1.7

Mova $- 36$ para o lado direito da equação, somando $36$ aos dois lados.

$3 {(x + 1)}^{2} + 4 {(y - 3)}^{2} = 9 + 3 + 36$

Etapa 1.8

Simplifique $9 + 3 + 36$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Some $9$ e $3$ .

$3 {(x + 1)}^{2} + 4 {(y - 3)}^{2} = 12 + 36$

Etapa 1.8.2

Some $12$ e $36$ .

$3 {(x + 1)}^{2} + 4 {(y - 3)}^{2} = 48$

Etapa 1.9

Divida cada termo por $48$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{3 {(x + 1)}^{2}}{48} + \frac{4 {(y - 3)}^{2}}{48} = \frac{48}{48}$

Etapa 1.10

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 3)}^{2}}{12} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = 4$

$b = 2 \sqrt{3}$

$k = 3$

$h = - 1$

Etapa 4

O centro de uma elipse segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(- 1, 3)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da elipse usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(4)}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\sqrt{16 - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{16 - (2^{2} {\sqrt{3}}^{2})}$

Etapa 5.3.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{16 - (4 {\sqrt{3}}^{2})}$

Etapa 5.3.2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{16 - (4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Etapa 5.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{16 - (4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Etapa 5.3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{16 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}$

Etapa 5.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{16 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}$

Etapa 5.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{16 - (4 \cdot 3^{1})}$

Etapa 5.3.2.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{16 - (4 \cdot 3)}$

Etapa 5.3.3

Multiplique $- (4 \cdot 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$\sqrt{16 - 1 \cdot 12}$

Etapa 5.3.3.2

Multiplique $- 1$ por $12$ .

$\sqrt{16 - 12}$

Etapa 5.3.4

Subtraia $12$ de $16$ .

$\sqrt{4}$

Etapa 5.3.5

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2}}$

Etapa 5.3.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$2$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma elipse pode ser encontrado ao somar $a$ com $h$ .

$(h + a, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(- 1 + 4, 3)$

Etapa 6.3

Simplifique.

$(3, 3)$

Etapa 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Etapa 6.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(- 1 - (4), 3)$

Etapa 6.6

Simplifique.

$(- 5, 3)$

Etapa 6.7

As elipses têm dois vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(3, 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 3)$

${Vertex}_{1}$ : $(3, 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 3)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao somar $c$ com $h$ .

$(h + c, k)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(- 1 + 2, 3)$

Etapa 7.3

Simplifique.

$(1, 3)$

Etapa 7.4

O segundo foco de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Etapa 7.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(- 1 - (2), 3)$

Etapa 7.6

Simplifique.

$(- 3, 3)$

Etapa 7.7

As elipses têm dois pontos imaginários.

${Focus}_{1}$ : $(1, 3)$

${Focus}_{2}$ : $(- 3, 3)$

${Focus}_{1}$ : $(1, 3)$

${Focus}_{2}$ : $(- 3, 3)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{4}$

Etapa 8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{16 - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{4}$

Etapa 8.3.1.2

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{16 - (2^{2} {\sqrt{3}}^{2})}}{4}$

Etapa 8.3.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{16 - (4 {\sqrt{3}}^{2})}}{4}$

Etapa 8.3.1.4

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{16 - (4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}}{4}$

Etapa 8.3.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{16 - (4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}}{4}$

Etapa 8.3.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{16 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}}{4}$

Etapa 8.3.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{16 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}}{4}$

Etapa 8.3.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{16 - (4 \cdot 3^{1})}}{4}$

Etapa 8.3.1.4.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{16 - (4 \cdot 3)}}{4}$

Etapa 8.3.1.5

Multiplique $- (4 \cdot 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.5.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{16 - 1 \cdot 12}}{4}$

Etapa 8.3.1.5.2

Multiplique $- 1$ por $12$ .

$\frac{\sqrt{16 - 12}}{4}$

Etapa 8.3.1.6

Subtraia $12$ de $16$ .

$\frac{\sqrt{4}}{4}$

Etapa 8.3.1.7

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}}}{4}$

Etapa 8.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{2}{4}$

Etapa 8.3.2

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Etapa 8.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 8.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 8.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2}$

Etapa 9

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma elipse.

Centro: $(- 1, 3)$

${Vertex}_{1}$ : $(3, 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 3)$

${Focus}_{1}$ : $(1, 3)$

${Focus}_{2}$ : $(- 3, 3)$

Excentricidade: $\frac{1}{2}$

Etapa 10