Pré-cálculo Exemplos

$4 x^{2} + 9 y^{2} = 1$

Etapa 1

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{1}{4}} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{9}} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = \frac{1}{2}$

$b = \frac{1}{3}$

$k = 0$

$h = 0$

Etapa 4

O centro de uma elipse segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

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Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da elipse usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Etapa 5.3.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Etapa 5.3.4

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Etapa 5.3.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{3^{2}}}$

Etapa 5.3.6

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{9}}$

Etapa 5.3.7

Para escrever $\frac{1}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9}}$

Etapa 5.3.8

Para escrever $- \frac{1}{9}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Etapa 5.3.9

Escreva cada expressão com um denominador comum de $36$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.3.9.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{9}{4 \cdot 9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Etapa 5.3.9.2

Multiplique $4$ por $9$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Etapa 5.3.9.3

Multiplique $\frac{1}{9}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{9 \cdot 4}}$

Etapa 5.3.9.4

Multiplique $9$ por $4$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{36}}$

Etapa 5.3.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{9 - 4}{36}}$

Etapa 5.3.11

Subtraia $4$ de $9$ .

$\sqrt{\frac{5}{36}}$

Etapa 5.3.12

Reescreva $\sqrt{\frac{5}{36}}$ como $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}}$

Etapa 5.3.13

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.3.13.1

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6^{2}}}$

Etapa 5.3.13.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{\sqrt{5}}{6}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

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Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma elipse pode ser encontrado ao somar $a$ com $h$ .

$(h + a, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(0 + \frac{1}{2}, 0)$

Etapa 6.3

Simplifique.

$(\frac{1}{2}, 0)$

Etapa 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Etapa 6.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(0 - (\frac{1}{2}), 0)$

Etapa 6.6

Simplifique.

$(- \frac{1}{2}, 0)$

Etapa 6.7

As elipses têm dois vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{1}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{1}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, 0)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

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Etapa 7.1

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao somar $c$ com $h$ .

$(h + c, k)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0 + \frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

Etapa 7.3

Simplifique.

$(\frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

Etapa 7.4

O segundo foco de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Etapa 7.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0 - (\frac{\sqrt{5}}{6}), 0)$

Etapa 7.6

Simplifique.

$(- \frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

Etapa 7.7

As elipses têm dois pontos imaginários.

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

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Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{3})}^{2}}}{\frac{1}{2}}$

Etapa 8.3

Simplifique.

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Etapa 8.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Etapa 8.3.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Etapa 8.3.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Etapa 8.3.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Etapa 8.3.5

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1^{2}}{3^{2}}} \cdot 2$

Etapa 8.3.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{3^{2}}} \cdot 2$

Etapa 8.3.7

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{9}} \cdot 2$

Etapa 8.3.8

Para escrever $\frac{1}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9}} \cdot 2$

Etapa 8.3.9

Para escrever $- \frac{1}{9}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

Etapa 8.3.10

Escreva cada expressão com um denominador comum de $36$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 8.3.10.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{9}{4 \cdot 9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

Etapa 8.3.10.2

Multiplique $4$ por $9$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

Etapa 8.3.10.3

Multiplique $\frac{1}{9}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{9 \cdot 4}} \cdot 2$

Etapa 8.3.10.4

Multiplique $9$ por $4$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{36}} \cdot 2$

Etapa 8.3.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{9 - 4}{36}} \cdot 2$

Etapa 8.3.12

Subtraia $4$ de $9$ .

$\sqrt{\frac{5}{36}} \cdot 2$

Etapa 8.3.13

Reescreva $\sqrt{\frac{5}{36}}$ como $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}} \cdot 2$

Etapa 8.3.14

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.3.14.1

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6^{2}}} \cdot 2$

Etapa 8.3.14.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{\sqrt{5}}{6} \cdot 2$

Etapa 8.3.15

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.3.15.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{\sqrt{5}}{2 (3)} \cdot 2$

Etapa 8.3.15.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{5}}{2 \cdot 3} \cdot 2$

Etapa 8.3.15.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Etapa 9

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma elipse.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{1}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

Excentricidade: $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Etapa 10