Pré-cálculo Exemplos

$64 y^{2} - 25 x^{2} = 1600$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da hipérbole.

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Etapa 1.1

Divida cada termo por $1600$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{64 y^{2}}{1600} - \frac{25 x^{2}}{1600} = \frac{1600}{1600}$

Etapa 1.2

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{y^{2}}{25} - \frac{x^{2}}{64} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma hipérbole. Use-a para determinar os valores usados para encontrar os vértices e as assíntotas da hipérbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta hipérbole com os da forma padrão. A variável $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem, $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem, $a$ .

$a = 5$

$b = 8$

$k = 0$

$h = 0$

Etapa 4

O centro de uma hipérbole segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

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Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(5)}^{2} + {(8)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\sqrt{25 + {(8)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$\sqrt{25 + 64}$

Etapa 5.3.3

Some $25$ e $64$ .

$\sqrt{89}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

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Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $a$ com $k$ .

$(h, k + a)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(0, 5)$

Etapa 6.3

O segundo vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $a$ de $k$ .

$(h, k - a)$

Etapa 6.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(0, - 5)$

Etapa 6.5

Os vértices de uma hipérbole seguem a forma $(h, k \pm a)$ . As hipérboles têm dois vértices.

$(0, 5), (0, - 5)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

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Etapa 7.1

O primeiro foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $c$ com $k$ .

$(h, k + c)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(0, \sqrt{89})$

Etapa 7.3

O segundo foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Etapa 7.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(0, - \sqrt{89})$

Etapa 7.5

O ponto imaginário de uma hipérbole segue a forma de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . As hipérboles têm dois pontos imaginários.

$(0, \sqrt{89}), (0, - \sqrt{89})$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

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Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} + {(8)}^{2}}}{5}$

Etapa 8.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 8^{2}}}{5}$

Etapa 8.3.2

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 64}}{5}$

Etapa 8.3.3

Some $25$ e $64$ .

$\frac{\sqrt{89}}{5}$

Etapa 9

Encontre o parâmetro focal.

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Etapa 9.1

Encontre o valor do parâmetro focal da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Etapa 9.2

Substitua os valores de $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ na fórmula.

$\frac{8^{2}}{\sqrt{89}}$

Etapa 9.3

Simplifique.

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Etapa 9.3.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$\frac{64}{\sqrt{89}}$

Etapa 9.3.2

Multiplique $\frac{64}{\sqrt{89}}$ por $\frac{\sqrt{89}}{\sqrt{89}}$ .

$\frac{64}{\sqrt{89}} \cdot \frac{\sqrt{89}}{\sqrt{89}}$

Etapa 9.3.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 9.3.3.1

Multiplique $\frac{64}{\sqrt{89}}$ por $\frac{\sqrt{89}}{\sqrt{89}}$ .

$\frac{64 \sqrt{89}}{\sqrt{89} \sqrt{89}}$

Etapa 9.3.3.2

Eleve $\sqrt{89}$ à potência de $1$ .

$\frac{64 \sqrt{89}}{{\sqrt{89}}^{1} \sqrt{89}}$

Etapa 9.3.3.3

Eleve $\sqrt{89}$ à potência de $1$ .

$\frac{64 \sqrt{89}}{{\sqrt{89}}^{1} {\sqrt{89}}^{1}}$

Etapa 9.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{64 \sqrt{89}}{{\sqrt{89}}^{1 + 1}}$

Etapa 9.3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{64 \sqrt{89}}{{\sqrt{89}}^{2}}$

Etapa 9.3.3.6

Reescreva ${\sqrt{89}}^{2}$ como $89$ .

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Etapa 9.3.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{89}$ como $89^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{64 \sqrt{89}}{{(89^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 9.3.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{64 \sqrt{89}}{89^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 9.3.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{64 \sqrt{89}}{89^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.3.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{64 \sqrt{89}}{89^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{64 \sqrt{89}}{89^{1}}$

Etapa 9.3.3.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{64 \sqrt{89}}{89}$

Etapa 10

As assíntotas seguem a forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , porque esta hipérbole se abre para cima e para baixo.

$y = \pm \frac{5}{8} x + 0$

Etapa 11

Simplifique $\frac{5}{8} x + 0$ .

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Etapa 11.1

Some $\frac{5}{8} x$ e $0$ .

$y = \frac{5}{8} x$

Etapa 11.2

Combine $\frac{5}{8}$ e $x$ .

$y = \frac{5 x}{8}$

Etapa 12

Simplifique $- \frac{5}{8} x + 0$ .

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Etapa 12.1

Some $- \frac{5}{8} x$ e $0$ .

$y = - \frac{5}{8} x$

Etapa 12.2

Combine $x$ e $\frac{5}{8}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{8}$

Etapa 12.3

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$y = - \frac{5 x}{8}$

Etapa 13

Essa hipérbole tem duas assíntotas.

$y = \frac{5 x}{8}, y = - \frac{5 x}{8}$

Etapa 14

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma hipérbole.

Centro: $(0, 0)$

Vértices: $(0, 5), (0, - 5)$

Ponto imaginário: $(0, \sqrt{89}), (0, - \sqrt{89})$

Excentricidade: $\frac{\sqrt{89}}{5}$

Parâmetro focal: $\frac{64 \sqrt{89}}{89}$

Assíntotas: $y = \frac{5 x}{8}$ , $y = - \frac{5 x}{8}$

Etapa 15