Pré-cálculo Exemplos

$x^{2} - y^{2} = 4 (x - y) + 1$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da hipérbole.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Subtraia $4 (x - y)$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - y^{2} - 4 (x - y) = 1$

Etapa 1.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} - y^{2} - 4 x - 4 (- y) = 1$

Etapa 1.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$x^{2} - y^{2} - 4 x + 4 y = 1$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $x^{2} - 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 0$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3.2

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 2}{1}$

Etapa 1.2.3.2.2.4

Divida $- 2$ por $1$ .

$d = - 2$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Cancele o fator comum de ${(- 4)}^{2}$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1.1

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.4

Multiplique $4^{2}$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.5

Fatore $4$ de $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1.6.1

Fatore $4$ de $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.6.2

Cancele o fator comum.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.6.3

Reescreva a expressão.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.6.4

Divida $4$ por $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$e = 0 - 4$

Etapa 1.2.4.2.2

Subtraia $4$ de $0$ .

$e = - 4$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(x - 2)}^{2} - 4$ .

${(x - 2)}^{2} - 4$

Etapa 1.3

Substitua ${(x - 2)}^{2} - 4$ por $x^{2} - 4 x$ na equação $x^{2} - y^{2} - 4 x + 4 y = 1$ .

${(x - 2)}^{2} - 4 - y^{2} + 4 y = 1$

Etapa 1.4

Mova $- 4$ para o lado direito da equação, somando $4$ aos dois lados.

${(x - 2)}^{2} - y^{2} + 4 y = 1 + 4$

Etapa 1.5

Complete o quadrado de $- y^{2} + 4 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = 4$

$c = 0$

Etapa 1.5.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.5.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot - 1}$

Etapa 1.5.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 1}$

Etapa 1.5.3.2.1.2

Mova o número negativo do denominador de $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Etapa 1.5.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$d = - 2$

Etapa 1.5.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Etapa 1.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.1

Cancele o fator comum de $4^{2}$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.1.1

Fatore $4$ de $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Etapa 1.5.4.2.1.1.2

Mova o número negativo do denominador de $\frac{4}{- 1}$ .

$e = 0 - (- 1 \cdot 4)$

Etapa 1.5.4.2.1.2

Multiplique $- (- 1 \cdot 4)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$e = 0 - - 4$

Etapa 1.5.4.2.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$e = 0 + 4$

Etapa 1.5.4.2.2

Some $0$ e $4$ .

$e = 4$

Etapa 1.5.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- {(y - 2)}^{2} + 4$ .

$- {(y - 2)}^{2} + 4$

Etapa 1.6

Substitua $- {(y - 2)}^{2} + 4$ por $- y^{2} + 4 y$ na equação $x^{2} - y^{2} - 4 x + 4 y = 1$ .

${(x - 2)}^{2} - {(y - 2)}^{2} + 4 = 1 + 4$

Etapa 1.7

Mova $4$ para o lado direito da equação, somando $4$ aos dois lados.

${(x - 2)}^{2} - {(y - 2)}^{2} = 1 + 4 - 4$

Etapa 1.8

Simplifique $1 + 4 - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Some $1$ e $4$ .

${(x - 2)}^{2} - {(y - 2)}^{2} = 5 - 4$

Etapa 1.8.2

Subtraia $4$ de $5$ .

${(x - 2)}^{2} - {(y - 2)}^{2} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma hipérbole. Use-a para determinar os valores usados para encontrar os vértices e as assíntotas da hipérbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta hipérbole com os da forma padrão. A variável $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem, $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem, $a$ .

$a = 1$

$b = 1$

$k = 2$

$h = 2$

Etapa 4

O centro de uma hipérbole segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(2, 2)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{1 + 1}$

Etapa 5.3.3

Some $1$ e $1$ .

$\sqrt{2}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $a$ com $h$ .

$(h + a, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(3, 2)$

Etapa 6.3

O segundo vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Etapa 6.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(1, 2)$

Etapa 6.5

Os vértices de uma hipérbole seguem a forma $(h \pm a, k)$ . As hipérboles têm dois vértices.

$(3, 2), (1, 2)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $c$ com $h$ .

$(h + c, k)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(2 + \sqrt{2}, 2)$

Etapa 7.3

O segundo foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Etapa 7.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(2 - \sqrt{2}, 2)$

Etapa 7.5

O ponto imaginário de uma hipérbole segue a forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . As hipérboles têm dois pontos imaginários.

$(2 + \sqrt{2}, 2), (2 - \sqrt{2}, 2)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}}{1}$

Etapa 8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Divida $\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$ por $1$ .

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Etapa 8.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Etapa 8.3.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{1 + 1}$

Etapa 8.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\sqrt{2}$

Etapa 9

Encontre o parâmetro focal.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Encontre o valor do parâmetro focal da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Etapa 9.2

Substitua os valores de $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ na fórmula.

$\frac{1^{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 9.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 9.3.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 9.3.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 9.3.3.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 9.3.3.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 9.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 9.3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 9.3.3.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 9.3.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 9.3.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 9.3.3.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 10

As assíntotas seguem a forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , porque esta hipérbole se abre para a esquerda e para a direita.

$y = \pm 1 \cdot (x - (2)) + 2$

Etapa 11

Simplifique para encontrar a primeira assíntota.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Remova os parênteses.

$y = 1 \cdot (x - (2)) + 2$

Etapa 11.2

Simplifique $1 \cdot (x - (2)) + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Multiplique $x - (2)$ por $1$ .

$y = x - (2) + 2$

Etapa 11.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y = x - 2 + 2$

Etapa 11.2.2

Combine os termos opostos em $x - 2 + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Some $- 2$ e $2$ .

$y = x + 0$

Etapa 11.2.2.2

Some $x$ e $0$ .

$y = x$

Etapa 12

Simplifique para encontrar a segunda assíntota.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Remova os parênteses.

$y = - 1 \cdot (x - (2)) + 2$

Etapa 12.2

Simplifique $- 1 \cdot (x - (2)) + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y = - 1 \cdot (x - 2) + 2$

Etapa 12.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - 1 x - 1 \cdot - 2 + 2$

Etapa 12.2.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$y = - x - 1 \cdot - 2 + 2$

Etapa 12.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$y = - x + 2 + 2$

Etapa 12.2.2

Some $2$ e $2$ .

$y = - x + 4$

Etapa 13

Essa hipérbole tem duas assíntotas.

$y = x, y = - x + 4$

Etapa 14

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma hipérbole.

Centro: $(2, 2)$

Vértices: $(3, 2), (1, 2)$

Ponto imaginário: $(2 + \sqrt{2}, 2), (2 - \sqrt{2}, 2)$

Excentricidade: $\sqrt{2}$

Parâmetro focal: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Assíntotas: $y = x$ , $y = - x + 4$

Etapa 15