Pré-cálculo Exemplos

$x^{2} + 2 x + y - 1 = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação na forma do vértice.

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Etapa 1.1

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.1.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$2 x + y - 1 = - x^{2}$

Etapa 1.1.2

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$y - 1 = - x^{2} - 2 x$

Etapa 1.1.3

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = - x^{2} - 2 x + 1$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $- x^{2} - 2 x + 1$ .

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Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = - 2$

$c = 1$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot - 1}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 1.2.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot - 1}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Mova o número negativo do denominador de $\frac{- 1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 1$

Etapa 1.2.3.2.2

Reescreva $- 1 \cdot - 1$ como $- - 1$ .

$d = - - 1$

Etapa 1.2.3.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$d = 1$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.4.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$e = 1 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$e = 1 - \frac{4}{- 4}$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Divida $4$ por $- 4$ .

$e = 1 - - 1$

Etapa 1.2.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e = 1 + 1$

Etapa 1.2.4.2.2

Some $1$ e $1$ .

$e = 2$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- {(x + 1)}^{2} + 2$ .

$- {(x + 1)}^{2} + 2$

Etapa 1.3

Defina $y$ como igual ao novo lado direito.

$y = - {(x + 1)}^{2} + 2$

Etapa 2

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - 1$

$h = - 1$

$k = 2$

Etapa 3

Como o valor de $a$ é negativo, a parábola abre para baixo.

Abre para baixo

Etapa 4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- 1, 2)$

Etapa 5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

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Etapa 5.3.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Etapa 5.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{4}$

Etapa 6

Encontre o foco.

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Etapa 6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 1, \frac{7}{4})$

Etapa 7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = - 1$

Etapa 8

Encontre a diretriz.

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Etapa 8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = \frac{9}{4}$

Etapa 9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para baixo

Vértice: $(- 1, 2)$

Foco: $(- 1, \frac{7}{4})$

Eixo de simetria: $x = - 1$

Diretriz: $y = \frac{9}{4}$

Etapa 10