Pré-cálculo Exemplos

$y^{2} + 4 y - 8 x + 1 = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Isole $x$ no lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$4 y - 8 x + 1 = - y^{2}$

Etapa 1.1.1.2

Subtraia $4 y$ dos dois lados da equação.

$- 8 x + 1 = - y^{2} - 4 y$

Etapa 1.1.1.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 8 x = - y^{2} - 4 y - 1$

Etapa 1.1.2

Divida cada termo em $- 8 x = - y^{2} - 4 y - 1$ por $- 8$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Divida cada termo em $- 8 x = - y^{2} - 4 y - 1$ por $- 8$ .

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{- y^{2}}{- 8} + \frac{- 4 y}{- 8} + \frac{- 1}{- 8}$

Etapa 1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{- y^{2}}{- 8} + \frac{- 4 y}{- 8} + \frac{- 1}{- 8}$

Etapa 1.1.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 8} + \frac{- 4 y}{- 8} + \frac{- 1}{- 8}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{- 4 y}{- 8} + \frac{- 1}{- 8}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $- 4$ e $- 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.2.1

Fatore $- 4$ de $- 4 y$ .

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{- 4 (y)}{- 8} + \frac{- 1}{- 8}$

Etapa 1.1.2.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.2.2.1

Fatore $- 4$ de $- 8$ .

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{- 4 (y)}{- 4 (2)} + \frac{- 1}{- 8}$

Etapa 1.1.2.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{- 4 y}{- 4 \cdot 2} + \frac{- 1}{- 8}$

Etapa 1.1.2.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{y}{2} + \frac{- 1}{- 8}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{y}{2} + \frac{1}{8}$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $\frac{y^{2}}{8} + \frac{y}{2} + \frac{1}{8}$ .

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Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = \frac{1}{8}$

$b = \frac{1}{2}$

$c = \frac{1}{8}$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{1}{2}}{2 (\frac{1}{8})}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{8})}$

Etapa 1.2.3.2.2

Combine $2$ e $\frac{1}{8}$ .

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{8}}$

Etapa 1.2.3.2.3

Cancele o fator comum de $2$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{8}}$

Etapa 1.2.3.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.3.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}}$

Etapa 1.2.3.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}}$

Etapa 1.2.3.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{4}}$

Etapa 1.2.3.2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = \frac{1}{2} (1 \cdot 4)$

Etapa 1.2.3.2.5

Multiplique $4$ por $1$ .

$d = \frac{1}{2} \cdot 4$

Etapa 1.2.3.2.6

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.6.1

Fatore $2$ de $4$ .

$d = \frac{1}{2} \cdot (2 (2))$

Etapa 1.2.3.2.6.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)$

Etapa 1.2.3.2.6.3

Reescreva a expressão.

$d = 2$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{1}{8} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{8})}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$e = \frac{1}{8} - \frac{\frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{8})}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$e = \frac{1}{8} - \frac{\frac{1}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{8})}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$e = \frac{1}{8} - \frac{\frac{1}{4}}{4 (\frac{1}{8})}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Combine $4$ e $\frac{1}{8}$ .

$e = \frac{1}{8} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4}{8}}$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Cancele o fator comum de $4$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.3.1

Fatore $4$ de $4$ .

$e = \frac{1}{8} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4 (1)}{8}}$

Etapa 1.2.4.2.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.3.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$e = \frac{1}{8} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Etapa 1.2.4.2.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$e = \frac{1}{8} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Etapa 1.2.4.2.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$e = \frac{1}{8} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.2.4.2.1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e = \frac{1}{8} - (\frac{1}{4} \cdot 2)$

Etapa 1.2.4.2.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.5.1

Fatore $2$ de $4$ .

$e = \frac{1}{8} - (\frac{1}{2 (2)} \cdot 2)$

Etapa 1.2.4.2.1.5.2

Cancele o fator comum.

$e = \frac{1}{8} - (\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2)$

Etapa 1.2.4.2.1.5.3

Reescreva a expressão.

$e = \frac{1}{8} - \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.4.2.2

Para escrever $- \frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{1}{8} - \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 1.2.4.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $8$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.2.4.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{1}{8} - \frac{4}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.4.2.3.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$e = \frac{1}{8} - \frac{4}{8}$

Etapa 1.2.4.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e = \frac{1 - 4}{8}$

Etapa 1.2.4.2.5

Subtraia $4$ de $1$ .

$e = \frac{- 3}{8}$

Etapa 1.2.4.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e = - \frac{3}{8}$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $\frac{1}{8} {(y + 2)}^{2} - \frac{3}{8}$ .

$\frac{1}{8} {(y + 2)}^{2} - \frac{3}{8}$

Etapa 1.3

Defina $x$ como igual ao novo lado direito.

$x = \frac{1}{8} \cdot {(y + 2)}^{2} - \frac{3}{8}$

Etapa 2

Use a forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{1}{8}$

$h = - \frac{3}{8}$

$k = - 2$

Etapa 3

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para a direita.

Abre para a direita

Etapa 4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- \frac{3}{8}, - 2)$

Etapa 5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{8}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Combine $4$ e $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{8}}$

Etapa 5.3.2

Cancele o fator comum de $4$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Etapa 5.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Etapa 5.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

Etapa 5.3.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$1 \cdot 2$

Etapa 5.3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 6

Encontre o foco.

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Etapa 6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada x $h$ , se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$(h + p, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(\frac{13}{8}, - 2)$

Etapa 7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$y = - 2$

Etapa 8

Encontre a diretriz.

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Etapa 8.1

A diretriz de uma parábola é a reta vertical encontrada ao subtrair $p$ da coordenada x $h$ do vértice se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$x = h - p$

Etapa 8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $h$ na fórmula e simplifique.

$x = - \frac{19}{8}$

Etapa 9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para a direita

Vértice: $(- \frac{3}{8}, - 2)$

Foco: $(\frac{13}{8}, - 2)$

Eixo de simetria: $y = - 2$

Diretriz: $x = - \frac{19}{8}$

Etapa 10