Pré-cálculo Exemplos

$\log_{3} (\sqrt[3]{\frac{1}{9}})$

Etapa 1

Reescreva $\sqrt[3]{\frac{1}{9}}$ como $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{9}}$ .

$\log_{3} (\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{9}})$

Etapa 2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\log_{3} (\frac{1}{\sqrt[3]{9}})$

Etapa 3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$ .

$\log_{3} (\frac{1}{\sqrt[3]{9}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}})$

Etapa 4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$ .

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{9}}^{2}})$

Etapa 4.2

Eleve $\sqrt[3]{9}$ à potência de $1$ .

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{1} {\sqrt[3]{9}}^{2}})$

Etapa 4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{1 + 2}})$

Etapa 4.4

Some $1$ e $2$ .

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{3}})$

Etapa 4.5

Reescreva ${\sqrt[3]{9}}^{3}$ como $9$ .

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Etapa 4.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{9}$ como $9^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{(9^{\frac{1}{3}})}^{3}})$

Etapa 4.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{1}{3} \cdot 3}})$

Etapa 4.5.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{3}{3}}})$

Etapa 4.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.5.4.1

Cancele o fator comum.

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{3}{3}}})$

Etapa 4.5.4.2

Reescreva a expressão.

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{1}})$

Etapa 4.5.5

Avalie o expoente.

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9})$

Etapa 5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1

Reescreva ${\sqrt[3]{9}}^{2}$ como $\sqrt[3]{9^{2}}$ .

$\log_{3} (\frac{\sqrt[3]{9^{2}}}{9})$

Etapa 5.2

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$\log_{3} (\frac{\sqrt[3]{81}}{9})$

Etapa 5.3

Reescreva $81$ como $3^{3} \cdot 3$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $27$ de $81$ .

$\log_{3} (\frac{\sqrt[3]{27 (3)}}{9})$

Etapa 5.3.2

Reescreva $27$ como $3^{3}$ .

$\log_{3} (\frac{\sqrt[3]{3^{3} \cdot 3}}{9})$

Etapa 5.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$\log_{3} (\frac{3 \sqrt[3]{3}}{9})$

Etapa 6

Reduza a expressão $\frac{3 \sqrt[3]{3}}{9}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 6.1

Fatore $3$ de $3 \sqrt[3]{3}$ .

$\log_{3} (\frac{3 (\sqrt[3]{3})}{9})$

Etapa 6.2

Fatore $3$ de $9$ .

$\log_{3} (\frac{3 \sqrt[3]{3}}{3 \cdot 3})$

Etapa 6.3

Cancele o fator comum.

$\log_{3} (\frac{3 \sqrt[3]{3}}{3 \cdot 3})$

Etapa 6.4

Reescreva a expressão.

$\log_{3} (\frac{\sqrt[3]{3}}{3})$

Etapa 7

Reescreva $\frac{\sqrt[3]{3}}{3}$ como $\sqrt[3]{3} \cdot 3^{- 1}$ .

$\log_{3} (\sqrt[3]{3} \cdot 3^{- 1})$

Etapa 8

Reescreva $\log_{3} (\sqrt[3]{3} \cdot 3^{- 1})$ como $\log_{3} (\sqrt[3]{3}) + \log_{3} (3^{- 1})$ .

$\log_{3} (\sqrt[3]{3}) + \log_{3} (3^{- 1})$

Etapa 9

Use as regras logarítmicas para mover $- 1$ para fora do expoente.

$\log_{3} (\sqrt[3]{3}) - \log_{3} (3)$

Etapa 10

A base do logaritmo $3$ de $3$ é $1$ .

$\log_{3} (\sqrt[3]{3}) - 1 \cdot 1$

Etapa 11

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\log_{3} (\sqrt[3]{3}) - 1$

Etapa 12

Reescreva $\log_{3} (\sqrt[3]{3})$ usando a mudança da fórmula de base.

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Etapa 12.1

A variação da regra de base pode ser usada quando $a$ e $b$ são maiores do que $0$ e diferentes de $1$ , e quando $x$ é maior do que $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} - 1$

Etapa 12.2

Substitua os valores das variáveis na mudança da fórmula de base, usando $b = 10$ .

$\frac{\log (\sqrt[3]{3})}{\log (3)} - 1$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\log (\sqrt[3]{3})}{\log (3)} - 1$

Forma decimal:

$- 0.\overline{6}$