Pré-cálculo Exemplos

$\sum_{k = 1}^{8} - 3 {(- \frac{3}{5})}^{k - 1}$

Etapa 1

A soma de uma série geométrica finita pode ser encontrada pela fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , em que $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão entre os termos sucessivos.

Etapa 2

Encontre a razão dos termos sucessivos substituindo a fórmula $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua $a_{k}$ e $a_{k + 1}$ na fórmula por $r$ .

$r = \frac{- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}}{- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k - 1}}$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$r = \frac{- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}}{- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k - 1}}$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}}{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1}}$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum de ${(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}$ e ${(- \frac{3}{5})}^{k - 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Fatore ${(- \frac{3}{5})}^{k - 1}$ de ${(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} {(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1}}$

Etapa 2.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} {(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} {(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Etapa 2.2.2.2.4

Divida ${(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}$ por $1$ .

$r = {(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}$

Etapa 2.2.3

Some $k$ e $0$ .

$r = {(- \frac{3}{5})}^{k - (k - 1)}$

Etapa 2.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$r = {(- \frac{3}{5})}^{k - k - - 1}$

Etapa 2.2.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$r = {(- \frac{3}{5})}^{k - k + 1}$

Etapa 2.2.5

Subtraia $k$ de $k$ .

$r = {(- \frac{3}{5})}^{0 + 1}$

Etapa 2.2.6

Some $0$ e $1$ .

$r = {(- \frac{3}{5})}^{1}$

Etapa 2.2.7

Simplifique.

$r = - \frac{3}{5}$

Etapa 3

Encontre o primeiro termo da série, substituindo o limite inferior e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $1$ por $k$ em $- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k - 1}$ .

$a = - 3 {(- \frac{3}{5})}^{1 - 1}$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$a = - 3 {(- \frac{3}{5})}^{0}$

Etapa 3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{5}$ .

$a = - 3 ({(- 1)}^{0} {(\frac{3}{5})}^{0})$

Etapa 3.2.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{5}$ .

$a = - 3 ({(- 1)}^{0} \frac{3^{0}}{5^{0}})$

Etapa 3.2.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = - 3 (1 \frac{3^{0}}{5^{0}})$

Etapa 3.2.4

Multiplique $\frac{3^{0}}{5^{0}}$ por $1$ .

$a = - 3 \frac{3^{0}}{5^{0}}$

Etapa 3.2.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = - 3 \frac{1}{5^{0}}$

Etapa 3.2.6

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = - 3 (\frac{1}{1})$

Etapa 3.2.7

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.7.1

Cancele o fator comum.

$a = - 3 (\frac{1}{1})$

Etapa 3.2.7.2

Reescreva a expressão.

$a = - 3 \cdot 1$

Etapa 3.2.8

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$a = - 3$

Etapa 4

Substitua os valores da razão, o primeiro termo e o número de termos na fórmula da soma.

$- 3 \frac{1 - {(- \frac{3}{5})}^{8}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{5}$ .

$- 3 \frac{1 - ({(- 1)}^{8} {(\frac{3}{5})}^{8})}{1 - - \frac{3}{5}}$

Etapa 5.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{5}$ .

$- 3 \frac{1 - ({(- 1)}^{8} \frac{3^{8}}{5^{8}})}{1 - - \frac{3}{5}}$

Etapa 5.1.2

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{8}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Mova ${(- 1)}^{8}$ .

$- 3 \frac{1 + {(- 1)}^{8} \cdot - 1 \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Etapa 5.1.2.2

Multiplique ${(- 1)}^{8}$ por $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$- 3 \frac{1 + {(- 1)}^{8} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Etapa 5.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 3 \frac{1 + {(- 1)}^{8 + 1} \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Etapa 5.1.2.3

Some $8$ e $1$ .

$- 3 \frac{1 + {(- 1)}^{9} \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Etapa 5.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $9$ .

$- 3 \frac{1 - \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Etapa 5.1.4

Eleve $3$ à potência de $8$ .

$- 3 \frac{1 - \frac{6561}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Etapa 5.1.5

Eleve $5$ à potência de $8$ .

$- 3 \frac{1 - \frac{6561}{390625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Etapa 5.1.6

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- 3 \frac{\frac{390625}{390625} - \frac{6561}{390625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Etapa 5.1.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 3 \frac{\frac{390625 - 6561}{390625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Etapa 5.1.8

Subtraia $6561$ de $390625$ .

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Etapa 5.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Multiplique $- - \frac{3}{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{1 + 1 (\frac{3}{5})}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $\frac{3}{5}$ por $1$ .

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{1 + \frac{3}{5}}$

Etapa 5.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{\frac{5}{5} + \frac{3}{5}}$

Etapa 5.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{\frac{5 + 3}{5}}$

Etapa 5.2.4

Some $5$ e $3$ .

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{\frac{8}{5}}$

Etapa 5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- 3 (\frac{384064}{390625} \cdot \frac{5}{8})$

Etapa 5.4

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Fatore $8$ de $384064$ .

$- 3 (\frac{8 (48008)}{390625} \cdot \frac{5}{8})$

Etapa 5.4.2

Cancele o fator comum.

$- 3 (\frac{8 \cdot 48008}{390625} \cdot \frac{5}{8})$

Etapa 5.4.3

Reescreva a expressão.

$- 3 (\frac{48008}{390625} \cdot 5)$

Etapa 5.5

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Fatore $5$ de $390625$ .

$- 3 (\frac{48008}{5 (78125)} \cdot 5)$

Etapa 5.5.2

Cancele o fator comum.

$- 3 (\frac{48008}{5 \cdot 78125} \cdot 5)$

Etapa 5.5.3

Reescreva a expressão.

$- 3 (\frac{48008}{78125})$

Etapa 5.6

Multiplique $- 3 (\frac{48008}{78125})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Combine $- 3$ e $\frac{48008}{78125}$ .

$\frac{- 3 \cdot 48008}{78125}$

Etapa 5.6.2

Multiplique $- 3$ por $48008$ .

$\frac{- 144024}{78125}$

Etapa 5.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{144024}{78125}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{144024}{78125}$

Forma decimal:

$- 1.8435072$

Forma de número misto:

$- 1 \frac{65899}{78125}$