Pré-cálculo Exemplos

$\sum_{k = 1}^{8} 200 {(1.01)}^{- k}$

Etapa 1

A soma de uma série geométrica finita pode ser encontrada pela fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , em que $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão entre os termos sucessivos.

Etapa 2

Encontre a razão dos termos sucessivos substituindo a fórmula $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua $a_{k}$ e $a_{k + 1}$ na fórmula por $r$ .

$r = \frac{200 \cdot {1.01}^{- (k + 1)}}{200 \cdot {1.01}^{- k}}$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $200$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$r = \frac{200 \cdot {1.01}^{- (k + 1)}}{200 \cdot {1.01}^{- k}}$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$r = \frac{{1.01}^{- (k + 1)}}{{1.01}^{- k}}$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum de ${1.01}^{- (k + 1)}$ e ${1.01}^{- k}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Fatore ${1.01}^{- k}$ de ${1.01}^{- (k + 1)}$ .

$r = \frac{{1.01}^{- k} \cdot {1.01}^{- (k + 1) + k}}{{1.01}^{- k}}$

Etapa 2.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$r = \frac{{1.01}^{- k} \cdot {1.01}^{- (k + 1) + k}}{{1.01}^{- k} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$r = \frac{{1.01}^{- k} \cdot {1.01}^{- (k + 1) + k}}{{1.01}^{- k} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$r = \frac{{1.01}^{- (k + 1) + k}}{1}$

Etapa 2.2.2.2.4

Divida ${1.01}^{- (k + 1) + k}$ por $1$ .

$r = {1.01}^{- (k + 1) + k}$

Etapa 2.2.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$r = {1.01}^{- k - 1 \cdot 1 + k}$

Etapa 2.2.3.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$r = {1.01}^{- k - 1 + k}$

Etapa 2.2.4

Combine os termos opostos em $- k - 1 + k$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Some $- k$ e $k$ .

$r = {1.01}^{0 - 1}$

Etapa 2.2.4.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$r = {1.01}^{- 1}$

Etapa 2.2.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = \frac{1}{1.01}$

Etapa 2.2.6

Divida $1$ por $1.01$ .

$r = 0.\overline{9900}$

Etapa 3

Encontre o primeiro termo da série, substituindo o limite inferior e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $1$ por $k$ em $200 {(1.01)}^{- k}$ .

$a = 200 \cdot {1.01}^{- 1}$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$a = 200 \cdot \frac{1}{1.01}$

Etapa 3.2.2

Divida $1$ por $1.01$ .

$a = 200 \cdot 0.\overline{9900}$

Etapa 3.2.3

Multiplique $200$ por $0.\overline{9900}$ .

$a = 198.\overline{0198}$

Etapa 4

Substitua os valores da razão, o primeiro termo e o número de termos na fórmula da soma.

$198.\overline{0198} \frac{1 - {0.\overline{9900}}^{8}}{1 - 1 \cdot 0.\overline{9900}}$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Eleve $0.\overline{9900}$ à potência de $8$ .

$198.\overline{0198} \frac{1 - 1 \cdot 0.92348322}{1 - 1 \cdot 0.\overline{9900}}$

Etapa 5.1.2

Multiplique $- 1$ por $0.92348322$ .

$198.\overline{0198} \frac{1 - 0.92348322}{1 - 1 \cdot 0.\overline{9900}}$

Etapa 5.1.3

Subtraia $0.92348322$ de $1$ .

$198.\overline{0198} \frac{0.07651677}{1 - 1 \cdot 0.\overline{9900}}$

Etapa 5.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Multiplique $- 1$ por $0.\overline{9900}$ .

$198.\overline{0198} \frac{0.07651677}{1 - 0.\overline{9900}}$

Etapa 5.2.2

Subtraia $0.\overline{9900}$ de $1$ .

$198.\overline{0198} (\frac{0.07651677}{0.\overline{0099}})$

Etapa 5.3

Divida $0.07651677$ por $0.\overline{0099}$ .

$198.\overline{0198} \cdot 7.72819452$

Etapa 5.4

Multiplique $198.\overline{0198}$ por $7.72819452$ .

$1530.33555035$