Pré-cálculo Exemplos

$\sum_{k = 2}^{32} (9) {(- 1)}^{k - 1}$

Etapa 1

A soma de uma série geométrica finita pode ser encontrada pela fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , em que $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão entre os termos sucessivos.

Etapa 2

Encontre a razão dos termos sucessivos substituindo a fórmula $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua $a_{k}$ e $a_{k + 1}$ na fórmula por $r$ .

$r = \frac{9 {(- 1)}^{k + 1 - 1}}{9 {(- 1)}^{k - 1}}$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$r = \frac{9 {(- 1)}^{k + 1 - 1}}{9 {(- 1)}^{k - 1}}$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$r = \frac{{(- 1)}^{k + 1 - 1}}{{(- 1)}^{k - 1}}$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum de ${(- 1)}^{k + 1 - 1}$ e ${(- 1)}^{k - 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Fatore ${(- 1)}^{k - 1}$ de ${(- 1)}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{k - 1} {(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 1)}^{k - 1}}$

Etapa 2.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{k - 1} {(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 1)}^{k - 1} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$r = \frac{{(- 1)}^{k - 1} {(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 1)}^{k - 1} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$r = \frac{{(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Etapa 2.2.2.2.4

Divida ${(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}$ por $1$ .

$r = {(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}$

Etapa 2.2.3

Some $k$ e $0$ .

$r = {(- 1)}^{k - (k - 1)}$

Etapa 2.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$r = {(- 1)}^{k - k - - 1}$

Etapa 2.2.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$r = {(- 1)}^{k - k + 1}$

Etapa 2.2.5

Subtraia $k$ de $k$ .

$r = {(- 1)}^{0 + 1}$

Etapa 2.2.6

Some $0$ e $1$ .

$r = {(- 1)}^{1}$

Etapa 2.2.7

Avalie o expoente.

$r = - 1$

Etapa 3

Encontre o primeiro termo da série, substituindo o limite inferior e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $2$ por $k$ em $(9) {(- 1)}^{k - 1}$ .

$a = 9 {(- 1)}^{2 - 1}$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Subtraia $1$ de $2$ .

$a = 9 {(- 1)}^{1}$

Etapa 3.2.2

Avalie o expoente.

$a = 9 \cdot - 1$

Etapa 3.2.3

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$a = - 9$

Etapa 4

Substitua os valores da razão, o primeiro termo e o número de termos na fórmula da soma.

$- 9 \frac{1 - {(- 1)}^{31}}{1 - - 1}$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{31}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{31}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$- 9 \frac{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{31}}{1 - - 1}$

Etapa 5.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 9 \frac{1 + {(- 1)}^{1 + 31}}{1 - - 1}$

Etapa 5.1.1.2

Some $1$ e $31$ .

$- 9 \frac{1 + {(- 1)}^{32}}{1 - - 1}$

Etapa 5.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $32$ .

$- 9 \frac{1 + 1}{1 - - 1}$

Etapa 5.1.3

Some $1$ e $1$ .

$- 9 \frac{2}{1 - - 1}$

Etapa 5.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- 9 \frac{2}{1 + 1}$

Etapa 5.2.2

Some $1$ e $1$ .

$- 9 (\frac{2}{2})$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum.

$- 9 (\frac{2}{2})$

Etapa 5.3.2

Reescreva a expressão.

$- 9 \cdot 1$

Etapa 5.4

Multiplique $- 9$ por $1$ .

$- 9$