Pré-cálculo Exemplos

$\sum_{n = 1}^{31} 300 + {(n - 1)}^{2}$

Etapa 1

Simplifique a soma.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Reescreva ${(n - 1)}^{2}$ como $(n - 1) (n - 1)$ .

$300 + (n - 1) (n - 1)$

Etapa 1.1.2

Expanda $(n - 1) (n - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$300 + n (n - 1) - 1 (n - 1)$

Etapa 1.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$300 + n \cdot n + n \cdot - 1 - 1 (n - 1)$

Etapa 1.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$300 + n \cdot n + n \cdot - 1 - 1 n - 1 \cdot - 1$

Etapa 1.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1

Multiplique $n$ por $n$ .

$300 + n^{2} + n \cdot - 1 - 1 n - 1 \cdot - 1$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $n$ .

$300 + n^{2} - 1 \cdot n - 1 n - 1 \cdot - 1$

Etapa 1.1.3.1.3

Reescreva $- 1 n$ como $- n$ .

$300 + n^{2} - n - 1 n - 1 \cdot - 1$

Etapa 1.1.3.1.4

Reescreva $- 1 n$ como $- n$ .

$300 + n^{2} - n - n - 1 \cdot - 1$

Etapa 1.1.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$300 + n^{2} - n - n + 1$

Etapa 1.1.3.2

Subtraia $n$ de $- n$ .

$300 + n^{2} - 2 n + 1$

Etapa 1.2

Some $300$ e $1$ .

$n^{2} - 2 n + 301$

Etapa 1.3

Reescreva a soma.

$\sum_{n = 1}^{31} n^{2} - 2 n + 301$

Etapa 2

Divida a soma em somas menores que se enquadrem nas regras da soma.

$\sum_{n = 1}^{31} n^{2} - 2 n + 301 = \sum_{n = 1}^{31} n^{2} - 2 \sum_{n = 1}^{31} n + \sum_{n = 1}^{31} 301$

Etapa 3

Avalie $\sum_{n = 1}^{31} n^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

A fórmula da soma de um polinômio com grau $2$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Etapa 3.2

Substitua os valores na fórmula.

$\frac{31 (31 + 1) (2 \cdot 31 + 1)}{6}$

Etapa 3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Some $31$ e $1$ .

$\frac{31 \cdot 32 (2 \cdot 31 + 1)}{6}$

Etapa 3.3.1.2

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.1

Multiplique $31$ por $32$ .

$\frac{992 (2 \cdot 31 + 1)}{6}$

Etapa 3.3.1.2.2

Multiplique $2$ por $31$ .

$\frac{992 (62 + 1)}{6}$

Etapa 3.3.1.3

Some $62$ e $1$ .

$\frac{992 \cdot 63}{6}$

Etapa 3.3.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Multiplique $992$ por $63$ .

$\frac{62496}{6}$

Etapa 3.3.2.2

Divida $62496$ por $6$ .

$10416$

Etapa 4

Avalie $2 \sum_{n = 1}^{31} n$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

A fórmula da soma de um polinômio com grau $1$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Etapa 4.2

Substitua os valores na fórmula e multiplique pelo termo da frente.

$(- 2) (\frac{31 (31 + 1)}{2})$

Etapa 4.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1

Some $31$ e $1$ .

$- 2 \frac{31 \cdot 32}{2}$

Etapa 4.3.1.2

Multiplique $31$ por $32$ .

$- 2 (\frac{992}{2})$

Etapa 4.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{992}{2}$

Etapa 4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 1 \frac{992}{2}$

Etapa 4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- 1 \cdot 992$

Etapa 4.3.3

Multiplique $- 1$ por $992$ .

$- 992$

Etapa 5

Avalie $\sum_{n = 1}^{31} 301$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

A fórmula da soma de uma constante é:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Etapa 5.2

Substitua os valores na fórmula.

$(301) (31)$

Etapa 5.3

Multiplique $301$ por $31$ .

$9331$

Etapa 6

Adicione os resultados das somas.

$10416 - 992 + 9331$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Subtraia $992$ de $10416$ .

$9424 + 9331$

Etapa 7.2

Some $9424$ e $9331$ .

$18755$