Pré-cálculo Exemplos

$\sum_{n = 0}^{50} 5 {(\frac{3}{5})}^{n}$

Etapa 1

A soma de uma série geométrica finita pode ser encontrada pela fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , em que $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão entre os termos sucessivos.

Etapa 2

Encontre a razão dos termos sucessivos substituindo a fórmula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua $a_{n}$ e $a_{n + 1}$ na fórmula por $r$ .

$r = \frac{5 {(\frac{3}{5})}^{n + 1}}{5 {(\frac{3}{5})}^{n}}$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$r = \frac{5 {(\frac{3}{5})}^{n + 1}}{5 {(\frac{3}{5})}^{n}}$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$r = \frac{{(\frac{3}{5})}^{n + 1}}{{(\frac{3}{5})}^{n}}$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum de ${(\frac{3}{5})}^{n + 1}$ e ${(\frac{3}{5})}^{n}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Fatore ${(\frac{3}{5})}^{n}$ de ${(\frac{3}{5})}^{n + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{3}{5})}^{n} \frac{3}{5}}{{(\frac{3}{5})}^{n}}$

Etapa 2.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$r = \frac{{(\frac{3}{5})}^{n} \frac{3}{5}}{{(\frac{3}{5})}^{n} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$r = \frac{{(\frac{3}{5})}^{n} \frac{3}{5}}{{(\frac{3}{5})}^{n} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$r = \frac{\frac{3}{5}}{1}$

Etapa 2.2.2.2.4

Divida $\frac{3}{5}$ por $1$ .

$r = \frac{3}{5}$

Etapa 3

Encontre o primeiro termo da série, substituindo o limite inferior e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $0$ por $n$ em $5 {(\frac{3}{5})}^{n}$ .

$a = 5 {(\frac{3}{5})}^{0}$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{5}$ .

$a = 5 \frac{3^{0}}{5^{0}}$

Etapa 3.2.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = 5 \frac{1}{5^{0}}$

Etapa 3.2.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = 5 (\frac{1}{1})$

Etapa 3.2.4

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$a = 5 (\frac{1}{1})$

Etapa 3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$a = 5 \cdot 1$

Etapa 3.2.5

Multiplique $5$ por $1$ .

$a = 5$

Etapa 4

Substitua os valores da razão, o primeiro termo e o número de termos na fórmula da soma.

$5 \frac{1 - {(\frac{3}{5})}^{51}}{1 - \frac{3}{5}}$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Multiplique $\frac{1 - {(\frac{3}{5})}^{51}}{1 - \frac{3}{5}}$ por $\frac{5}{5}$ .

$5 (\frac{5}{5} \cdot \frac{1 - {(\frac{3}{5})}^{51}}{1 - \frac{3}{5}})$

Etapa 5.1.2

Combine.

$5 \frac{5 (1 - {(\frac{3}{5})}^{51})}{5 (1 - \frac{3}{5})}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$5 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{3}{5})}^{51})}{5 \cdot 1 + 5 (- \frac{3}{5})}$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3}{5}$ para o numerador.

$5 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{3}{5})}^{51})}{5 \cdot 1 + 5 (\frac{- 3}{5})}$

Etapa 5.3.2

Cancele o fator comum.

$5 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{3}{5})}^{51})}{5 \cdot 1 + 5 (\frac{- 3}{5})}$

Etapa 5.3.3

Reescreva a expressão.

$5 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{3}{5})}^{51})}{5 \cdot 1 - 3}$

Etapa 5.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Multiplique $5$ por $1$ .

$5 \frac{5 + 5 (- {(\frac{3}{5})}^{51})}{5 \cdot 1 - 3}$

Etapa 5.4.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{5}$ .

$5 \frac{5 + 5 (- \frac{3^{51}}{5^{51}})}{5 \cdot 1 - 3}$

Etapa 5.4.3

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3^{51}}{5^{51}}$ para o numerador.

$5 \frac{5 + 5 \frac{- 3^{51}}{5^{51}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Etapa 5.4.3.2

Fatore $5$ de $5^{51}$ .

$5 \frac{5 + 5 \frac{- 3^{51}}{5 \cdot 5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Etapa 5.4.3.3

Cancele o fator comum.

$5 \frac{5 + 5 \frac{- 3^{51}}{5 \cdot 5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Etapa 5.4.3.4

Reescreva a expressão.

$5 \frac{5 + \frac{- 3^{51}}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Etapa 5.4.4

Eleve $3$ à potência de $51$ .

$5 \frac{5 + \frac{- 1 \cdot 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Etapa 5.4.5

Multiplique $- 1$ por $2153693963075560000000000$ .

$5 \frac{5 + \frac{- 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Etapa 5.4.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$5 \frac{5 - \frac{2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Etapa 5.4.7

Para escrever $5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5^{50}}{5^{50}}$ .

$5 \frac{5 \cdot \frac{5^{50}}{5^{50}} - \frac{2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Etapa 5.4.8

Combine $5$ e $\frac{5^{50}}{5^{50}}$ .

$5 \frac{\frac{5 \cdot 5^{50}}{5^{50}} - \frac{2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Etapa 5.4.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$5 \frac{\frac{5 \cdot 5^{50} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Etapa 5.4.10

Multiplique $5$ por $5^{50}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.10.1

Multiplique $5$ por $5^{50}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.10.1.1

Eleve $5$ à potência de $1$ .

$5 \frac{\frac{5^{1} \cdot 5^{50} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Etapa 5.4.10.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5 \frac{\frac{5^{1 + 50} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Etapa 5.4.10.2

Some $1$ e $50$ .

$5 \frac{\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Etapa 5.5

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Multiplique $5$ por $1$ .

$5 \frac{\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 - 3}$

Etapa 5.5.2

Subtraia $3$ de $5$ .

$5 \frac{\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{2}$

Etapa 5.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$5 (\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{5^{50}} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 5.7

Multiplique $\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$5 \frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{5^{50} \cdot 2}$

Etapa 5.8

Mova $2$ para a esquerda de $5^{50}$ .

$5 \frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{2 \cdot 5^{50}}$

Etapa 5.9

Combine $5$ e $\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{2 \cdot 5^{50}}$ .

$\frac{5 (5^{51} - 2153693963075560000000000)}{2 \cdot 5^{50}}$

Etapa 5.10

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.1

Fatore $5$ de $2 \cdot 5^{50}$ .

$\frac{5 (5^{51} - 2153693963075560000000000)}{5 (2 \cdot 5^{49})}$

Etapa 5.10.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (5^{51} - 2153693963075560000000000)}{5 (2 \cdot 5^{49})}$

Etapa 5.10.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{2 \cdot 5^{49}}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{2 \cdot 5^{49}}$

Forma decimal:

$12.49999999 \dots$