Pré-cálculo Exemplos

$\sum_{n = 1}^{15} {(\frac{6}{13})}^{n}$

Etapa 1

A soma de uma série geométrica finita pode ser encontrada pela fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , em que $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão entre os termos sucessivos.

Etapa 2

Encontre a razão dos termos sucessivos substituindo a fórmula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua $a_{n}$ e $a_{n + 1}$ na fórmula por $r$ .

$r = \frac{{(\frac{6}{13})}^{n + 1}}{{(\frac{6}{13})}^{n}}$

Etapa 2.2

Cancele o fator comum de ${(\frac{6}{13})}^{n + 1}$ e ${(\frac{6}{13})}^{n}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore ${(\frac{6}{13})}^{n}$ de ${(\frac{6}{13})}^{n + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{6}{13})}^{n} \frac{6}{13}}{{(\frac{6}{13})}^{n}}$

Etapa 2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$r = \frac{{(\frac{6}{13})}^{n} \frac{6}{13}}{{(\frac{6}{13})}^{n} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$r = \frac{{(\frac{6}{13})}^{n} \frac{6}{13}}{{(\frac{6}{13})}^{n} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$r = \frac{\frac{6}{13}}{1}$

Etapa 2.2.2.4

Divida $\frac{6}{13}$ por $1$ .

$r = \frac{6}{13}$

Etapa 3

Encontre o primeiro termo da série, substituindo o limite inferior e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $1$ por $n$ em ${(\frac{6}{13})}^{n}$ .

$a = {(\frac{6}{13})}^{1}$

Etapa 3.2

Simplifique.

$a = \frac{6}{13}$

Etapa 4

Substitua os valores da razão, o primeiro termo e o número de termos na fórmula da soma.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{1 - {(\frac{6}{13})}^{15}}{1 - \frac{6}{13}}$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $13$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Multiplique $\frac{1 - {(\frac{6}{13})}^{15}}{1 - \frac{6}{13}}$ por $\frac{13}{13}$ .

$\frac{6}{13} (\frac{13}{13} \cdot \frac{1 - {(\frac{6}{13})}^{15}}{1 - \frac{6}{13}})$

Etapa 5.1.2

Combine.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 (1 - {(\frac{6}{13})}^{15})}{13 (1 - \frac{6}{13})}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 \cdot 1 + 13 (- {(\frac{6}{13})}^{15})}{13 \cdot 1 + 13 (- \frac{6}{13})}$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $13$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{6}{13}$ para o numerador.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 \cdot 1 + 13 (- {(\frac{6}{13})}^{15})}{13 \cdot 1 + 13 (\frac{- 6}{13})}$

Etapa 5.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 \cdot 1 + 13 (- {(\frac{6}{13})}^{15})}{13 \cdot 1 + 13 (\frac{- 6}{13})}$

Etapa 5.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 \cdot 1 + 13 (- {(\frac{6}{13})}^{15})}{13 \cdot 1 - 6}$

Etapa 5.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Multiplique $13$ por $1$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + 13 (- {(\frac{6}{13})}^{15})}{13 \cdot 1 - 6}$

Etapa 5.4.2

Aplique a regra do produto a $\frac{6}{13}$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + 13 (- \frac{6^{15}}{13^{15}})}{13 \cdot 1 - 6}$

Etapa 5.4.3

Cancele o fator comum de $13$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{6^{15}}{13^{15}}$ para o numerador.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + 13 \frac{- 6^{15}}{13^{15}}}{13 \cdot 1 - 6}$

Etapa 5.4.3.2

Fatore $13$ de $13^{15}$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + 13 \frac{- 6^{15}}{13 \cdot 13^{14}}}{13 \cdot 1 - 6}$

Etapa 5.4.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + 13 \frac{- 6^{15}}{13 \cdot 13^{14}}}{13 \cdot 1 - 6}$

Etapa 5.4.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + \frac{- 6^{15}}{13^{14}}}{13 \cdot 1 - 6}$

Etapa 5.4.4

Eleve $6$ à potência de $15$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + \frac{- 1 \cdot 470184984576}{13^{14}}}{13 \cdot 1 - 6}$

Etapa 5.4.5

Eleve $13$ à potência de $14$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + \frac{- 1 \cdot 470184984576}{3937376385699290}}{13 \cdot 1 - 6}$

Etapa 5.4.6

Multiplique $- 1$ por $470184984576$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + \frac{- 470184984576}{3937376385699290}}{13 \cdot 1 - 6}$

Etapa 5.4.7

Cancele o fator comum de $- 470184984576$ e $3937376385699290$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.7.1

Fatore $2$ de $- 470184984576$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + \frac{2 (- 235092492288)}{3937376385699290}}{13 \cdot 1 - 6}$

Etapa 5.4.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.7.2.1

Fatore $2$ de $3937376385699290$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + \frac{2 \cdot - 235092492288}{2 \cdot 1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

Etapa 5.4.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + \frac{2 \cdot - 235092492288}{2 \cdot 1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

Etapa 5.4.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + \frac{- 235092492288}{1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

Etapa 5.4.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 - \frac{235092492288}{1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

Etapa 5.4.9

Para escrever $13$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1968688192849645}{1968688192849645}$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 \cdot \frac{1968688192849645}{1968688192849645} - \frac{235092492288}{1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

Etapa 5.4.10

Combine $13$ e $\frac{1968688192849645}{1968688192849645}$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{\frac{13 \cdot 1968688192849645}{1968688192849645} - \frac{235092492288}{1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

Etapa 5.4.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{\frac{13 \cdot 1968688192849645 - 235092492288}{1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

Etapa 5.4.12

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.12.1

Multiplique $13$ por $1968688192849645$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{\frac{25592946507045385 - 235092492288}{1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

Etapa 5.4.12.2

Subtraia $235092492288$ de $25592946507045385$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{\frac{25592711414553097}{1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

Etapa 5.5

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Multiplique $13$ por $1$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{\frac{25592711414553097}{1968688192849645}}{13 - 6}$

Etapa 5.5.2

Subtraia $6$ de $13$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{\frac{25592711414553097}{1968688192849645}}{7}$

Etapa 5.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{6}{13} (\frac{25592711414553097}{1968688192849645} \cdot \frac{1}{7})$

Etapa 5.7

Multiplique $\frac{25592711414553097}{1968688192849645} \cdot \frac{1}{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.1

Multiplique $\frac{25592711414553097}{1968688192849645}$ por $\frac{1}{7}$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{25592711414553097}{1968688192849645 \cdot 7}$

Etapa 5.7.2

Multiplique $1968688192849645$ por $7$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{25592711414553097}{13780817349947515}$

Etapa 5.8

Multiplique $\frac{6}{13} \cdot \frac{25592711414553097}{13780817349947515}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.1

Multiplique $\frac{6}{13}$ por $\frac{25592711414553097}{13780817349947515}$ .

$\frac{6 \cdot 25592711414553097}{13 \cdot 13780817349947515}$

Etapa 5.8.2

Multiplique $6$ por $25592711414553097$ .

$\frac{153556268487318582}{13 \cdot 13780817349947515}$

Etapa 5.8.3

Multiplique $13$ por $13780817349947515$ .

$\frac{153556268487318582}{179150625549317695}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{153556268487318582}{179150625549317695}$

Forma decimal:

$0.85713498 \dots$