Pré-cálculo Exemplos

$\sum_{k = 1}^{11} \frac{1}{4} + {(- 3)}^{k - 1}$

Etapa 1

Divida a soma em somas menores que se enquadrem nas regras da soma.

$\sum_{k = 1}^{11} \frac{1}{4} + {(- 3)}^{k - 1} = \sum_{k = 1}^{11} \frac{1}{4} + \sum_{k = 1}^{11} {(- 3)}^{k - 1}$

Etapa 2

Avalie $\sum_{k = 1}^{11} \frac{1}{4}$ .

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Etapa 2.1

A fórmula da soma de uma constante é:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Etapa 2.2

Substitua os valores na fórmula.

$(\frac{1}{4}) (11)$

Etapa 2.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $11$ .

$\frac{11}{4}$

Etapa 3

Avalie $\sum_{k = 1}^{11} {(- 3)}^{k - 1}$ .

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Etapa 3.1

A soma de uma série geométrica finita pode ser encontrada pela fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , em que $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão entre os termos sucessivos.

Etapa 3.2

Encontre a razão dos termos sucessivos substituindo a fórmula $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ e simplificando.

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Etapa 3.2.1

Substitua $a_{k}$ e $a_{k + 1}$ na fórmula por $r$ .

$r = \frac{{(- 3)}^{k + 1 - 1}}{{(- 3)}^{k - 1}}$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de ${(- 3)}^{k + 1 - 1}$ e ${(- 3)}^{k - 1}$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Fatore ${(- 3)}^{k - 1}$ de ${(- 3)}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- 3)}^{k - 1} {(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 3)}^{k - 1}}$

Etapa 3.2.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.2.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$r = \frac{{(- 3)}^{k - 1} {(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 3)}^{k - 1} \cdot 1}$

Etapa 3.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$r = \frac{{(- 3)}^{k - 1} {(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 3)}^{k - 1} \cdot 1}$

Etapa 3.2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$r = \frac{{(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Etapa 3.2.2.1.2.4

Divida ${(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}$ por $1$ .

$r = {(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}$

Etapa 3.2.2.2

Some $k$ e $0$ .

$r = {(- 3)}^{k - (k - 1)}$

Etapa 3.2.2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$r = {(- 3)}^{k - k - - 1}$

Etapa 3.2.2.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$r = {(- 3)}^{k - k + 1}$

Etapa 3.2.2.4

Subtraia $k$ de $k$ .

$r = {(- 3)}^{0 + 1}$

Etapa 3.2.2.5

Some $0$ e $1$ .

$r = {(- 3)}^{1}$

Etapa 3.2.2.6

Avalie o expoente.

$r = - 3$

Etapa 3.3

Encontre o primeiro termo da série, substituindo o limite inferior e simplificando.

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Etapa 3.3.1

Substitua $1$ por $k$ em ${(- 3)}^{k - 1}$ .

$a = {(- 3)}^{1 - 1}$

Etapa 3.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$a = {(- 3)}^{0}$

Etapa 3.3.2.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = 1$

Etapa 3.4

Substitua os valores da razão, o primeiro termo e o número de termos na fórmula da soma.

$1 \frac{1 - {(- 3)}^{11}}{1 - - 3}$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $\frac{1 - {(- 3)}^{11}}{1 - - 3}$ por $1$ .

$\frac{1 - {(- 3)}^{11}}{1 - - 3}$

Etapa 3.5.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.2.1

Eleve $- 3$ à potência de $11$ .

$\frac{1 - - 177147}{1 - - 3}$

Etapa 3.5.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 177147$ .

$\frac{1 + 177147}{1 - - 3}$

Etapa 3.5.2.3

Some $1$ e $177147$ .

$\frac{177148}{1 - - 3}$

Etapa 3.5.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.5.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{177148}{1 + 3}$

Etapa 3.5.3.2

Some $1$ e $3$ .

$\frac{177148}{4}$

Etapa 3.5.4

Divida $177148$ por $4$ .

$44287$

Etapa 4

Adicione os resultados das somas.

$\frac{11}{4} + 44287$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Para escrever $44287$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{11}{4} + 44287 \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 5.2

Combine $44287$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{11}{4} + \frac{44287 \cdot 4}{4}$

Etapa 5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{11 + 44287 \cdot 4}{4}$

Etapa 5.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.4.1

Multiplique $44287$ por $4$ .

$\frac{11 + 177148}{4}$

Etapa 5.4.2

Some $11$ e $177148$ .

$\frac{177159}{4}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{177159}{4}$

Forma decimal:

$44289.75$

Forma de número misto:

$44289 \frac{3}{4}$