Pré-cálculo Exemplos

$\sum_{k = 1}^{100} 9 + {(\frac{1}{2})}^{k - 1}$

Etapa 1

Divida a soma em somas menores que se enquadrem nas regras da soma.

$\sum_{k = 1}^{100} 9 + {(\frac{1}{2})}^{k - 1} = \sum_{k = 1}^{100} 9 + \sum_{k = 1}^{100} {(\frac{1}{2})}^{k - 1}$

Etapa 2

Avalie $\sum_{k = 1}^{100} 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

A fórmula da soma de uma constante é:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Etapa 2.2

Substitua os valores na fórmula.

$(9) (100)$

Etapa 2.3

Multiplique $9$ por $100$ .

$900$

Etapa 3

Avalie $\sum_{k = 1}^{100} {(\frac{1}{2})}^{k - 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

A soma de uma série geométrica finita pode ser encontrada pela fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , em que $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão entre os termos sucessivos.

Etapa 3.2

Encontre a razão dos termos sucessivos substituindo a fórmula $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua $a_{k}$ e $a_{k + 1}$ na fórmula por $r$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k + 1 - 1}}{{(\frac{1}{2})}^{k - 1}}$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de ${(\frac{1}{2})}^{k + 1 - 1}$ e ${(\frac{1}{2})}^{k - 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Fatore ${(\frac{1}{2})}^{k - 1}$ de ${(\frac{1}{2})}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} {(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{1}{2})}^{k - 1}}$

Etapa 3.2.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} {(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} \cdot 1}$

Etapa 3.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} {(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} \cdot 1}$

Etapa 3.2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Etapa 3.2.2.1.2.4

Divida ${(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}$ por $1$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}$

Etapa 3.2.2.2

Some $k$ e $0$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{k - (k - 1)}$

Etapa 3.2.2.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$r = {(\frac{1}{2})}^{k - k - - 1}$

Etapa 3.2.2.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{k - k + 1}$

Etapa 3.2.2.4

Subtraia $k$ de $k$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{0 + 1}$

Etapa 3.2.2.5

Some $0$ e $1$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{1}$

Etapa 3.2.2.6

Simplifique.

$r = \frac{1}{2}$

Etapa 3.3

Encontre o primeiro termo da série, substituindo o limite inferior e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua $1$ por $k$ em ${(\frac{1}{2})}^{k - 1}$ .

$a = {(\frac{1}{2})}^{1 - 1}$

Etapa 3.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$a = {(\frac{1}{2})}^{0}$

Etapa 3.3.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$a = \frac{1^{0}}{2^{0}}$

Etapa 3.3.2.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = \frac{1}{2^{0}}$

Etapa 3.3.2.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

Etapa 3.3.2.5

Divida $1$ por $1$ .

$a = 1$

Etapa 3.4

Substitua os valores da razão, o primeiro termo e o número de termos na fórmula da soma.

$1 \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$

Etapa 3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Multiplique $\frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$

Etapa 3.5.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Multiplique $\frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$

Etapa 3.5.2.2

Combine.

$\frac{2 (1 - {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 (1 - \frac{1}{2})}$

Etapa 3.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{1}{2})}$

Etapa 3.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

Etapa 3.5.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

Etapa 3.5.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 - 1}$

Etapa 3.5.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.5.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 - 1}$

Etapa 3.5.5.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 + 2 (- \frac{1^{100}}{2^{100}})}{2 \cdot 1 - 1}$

Etapa 3.5.5.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.5.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1^{100}}{2^{100}}$ para o numerador.

$\frac{2 + 2 \frac{- 1^{100}}{2^{100}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Etapa 3.5.5.3.2

Fatore $2$ de $2^{100}$ .

$\frac{2 + 2 \frac{- 1^{100}}{2 \cdot 2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Etapa 3.5.5.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{2 + 2 \frac{- 1^{100}}{2 \cdot 2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Etapa 3.5.5.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{2 + \frac{- 1^{100}}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Etapa 3.5.5.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{2 + \frac{- 1 \cdot 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Etapa 3.5.5.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 + \frac{- 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Etapa 3.5.5.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2 - \frac{1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Etapa 3.5.5.7

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2^{99}}{2^{99}}$ .

$\frac{2 \cdot \frac{2^{99}}{2^{99}} - \frac{1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Etapa 3.5.5.8

Combine $2$ e $\frac{2^{99}}{2^{99}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2^{99}}{2^{99}} - \frac{1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Etapa 3.5.5.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{2 \cdot 2^{99} - 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Etapa 3.5.5.10

Multiplique $2$ por $2^{99}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.5.10.1

Multiplique $2$ por $2^{99}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.5.10.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{2^{1} \cdot 2^{99} - 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Etapa 3.5.5.10.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{2^{1 + 99} - 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Etapa 3.5.5.10.2

Some $1$ e $99$ .

$\frac{\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Etapa 3.5.6

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.6.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}}{2 - 1}$

Etapa 3.5.6.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}}{1}$

Etapa 3.5.7

Divida $\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$ por $1$ .

$\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$

Etapa 4

Adicione os resultados das somas.

$900 + \frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Para escrever $900$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2^{99}}{2^{99}}$ .

$900 \cdot \frac{2^{99}}{2^{99}} + \frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$

Etapa 5.2

Combine $900$ e $\frac{2^{99}}{2^{99}}$ .

$\frac{900 \cdot 2^{99}}{2^{99}} + \frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$

Etapa 5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{900 \cdot 2^{99} + 2^{100} - 1}{2^{99}}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{900 \cdot 2^{99} + 2^{100} - 1}{2^{99}}$

Forma decimal:

$902$