Pré-cálculo Exemplos

$\sum_{k = 1}^{200} {(2 k - 3)}^{2}$

Etapa 1

Simplifique a soma.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva ${(2 k - 3)}^{2}$ como $(2 k - 3) (2 k - 3)$ .

$(2 k - 3) (2 k - 3)$

Etapa 1.2

Expanda $(2 k - 3) (2 k - 3)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 k (2 k - 3) - 3 (2 k - 3)$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 k (2 k) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k - 3)$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 k (2 k) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \cdot 2 k \cdot k + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $k$ por $k$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.1

Mova $k$ .

$2 \cdot 2 (k \cdot k) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Etapa 1.3.1.2.2

Multiplique $k$ por $k$ .

$2 \cdot 2 k^{2} + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 k^{2} + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Etapa 1.3.1.4

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$4 k^{2} - 6 k - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Etapa 1.3.1.5

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$4 k^{2} - 6 k - 6 k - 3 \cdot - 3$

Etapa 1.3.1.6

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$4 k^{2} - 6 k - 6 k + 9$

Etapa 1.3.2

Subtraia $6 k$ de $- 6 k$ .

$4 k^{2} - 12 k + 9$

Etapa 1.4

Reescreva a soma.

$\sum_{k = 1}^{200} 4 k^{2} - 12 k + 9$

Etapa 2

Divida a soma em somas menores que se enquadrem nas regras da soma.

$\sum_{k = 1}^{200} 4 k^{2} - 12 k + 9 = 4 \sum_{k = 1}^{200} k^{2} - 12 \sum_{k = 1}^{200} k + \sum_{k = 1}^{200} 9$

Etapa 3

Avalie $4 \sum_{k = 1}^{200} k^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

A fórmula da soma de um polinômio com grau $2$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Etapa 3.2

Substitua os valores na fórmula e multiplique pelo termo da frente.

$(4) (\frac{200 (200 + 1) (2 \cdot 200 + 1)}{6})$

Etapa 3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Some $200$ e $1$ .

$4 \frac{200 \cdot 201 (2 \cdot 200 + 1)}{6}$

Etapa 3.3.1.2

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.1

Multiplique $200$ por $201$ .

$4 \frac{40200 (2 \cdot 200 + 1)}{6}$

Etapa 3.3.1.2.2

Multiplique $2$ por $200$ .

$4 \frac{40200 (400 + 1)}{6}$

Etapa 3.3.1.3

Some $400$ e $1$ .

$4 \frac{40200 \cdot 401}{6}$

Etapa 3.3.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Multiplique $40200$ por $401$ .

$4 (\frac{16120200}{6})$

Etapa 3.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$2 (2) \frac{16120200}{6}$

Etapa 3.3.2.2.2

Fatore $2$ de $6$ .

$2 \cdot 2 \frac{16120200}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.3.2.2.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 2 \frac{16120200}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.3.2.2.4

Reescreva a expressão.

$2 (\frac{16120200}{3})$

Etapa 3.3.2.3

Combine $2$ e $\frac{16120200}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 16120200}{3}$

Etapa 3.3.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.4.1

Multiplique $2$ por $16120200$ .

$\frac{32240400}{3}$

Etapa 3.3.2.4.2

Divida $32240400$ por $3$ .

$10746800$

Etapa 4

Avalie $12 \sum_{k = 1}^{200} k$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

A fórmula da soma de um polinômio com grau $1$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Etapa 4.2

Substitua os valores na fórmula e multiplique pelo termo da frente.

$(- 12) (\frac{200 (200 + 1)}{2})$

Etapa 4.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1

Some $200$ e $1$ .

$- 12 \frac{200 \cdot 201}{2}$

Etapa 4.3.1.2

Multiplique $200$ por $201$ .

$- 12 (\frac{40200}{2})$

Etapa 4.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Fatore $2$ de $- 12$ .

$2 (- 6) \frac{40200}{2}$

Etapa 4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 6 \frac{40200}{2}$

Etapa 4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- 6 \cdot 40200$

Etapa 4.3.3

Multiplique $- 6$ por $40200$ .

$- 241200$

Etapa 5

Avalie $\sum_{k = 1}^{200} 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

A fórmula da soma de uma constante é:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Etapa 5.2

Substitua os valores na fórmula.

$(9) (200)$

Etapa 5.3

Multiplique $9$ por $200$ .

$1800$

Etapa 6

Adicione os resultados das somas.

$10746800 - 241200 + 1800$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Subtraia $241200$ de $10746800$ .

$10505600 + 1800$

Etapa 7.2

Some $10505600$ e $1800$ .

$10507400$