Pré-cálculo Exemplos

$\sum_{k = 1}^{\infty} 3 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}$

Etapa 1

A soma de uma série geométrica infinita pode ser encontrada pela fórmula $\frac{a}{1 - r}$ , em que $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão entre os termos sucessivos.

Etapa 2

Encontre a razão dos termos sucessivos substituindo a fórmula $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ e simplificando.

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Etapa 2.1

Substitua $a_{k}$ e $a_{k + 1}$ na fórmula por $r$ .

$r = \frac{3 {(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{3 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Etapa 2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$r = \frac{3 {(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{3 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum de ${(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}$ e ${(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ .

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Etapa 2.2.2.1

Fatore ${(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ de ${(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Etapa 2.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Etapa 2.2.2.2.4

Divida ${(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$ por $1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$

Etapa 2.2.3

Some $k$ e $0$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - (k - 1)}$

Etapa 2.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - k - - 1}$

Etapa 2.2.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - k + 1}$

Etapa 2.2.5

Subtraia $k$ de $k$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{0 + 1}$

Etapa 2.2.6

Some $0$ e $1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{1}$

Etapa 2.2.7

Simplifique.

$r = \frac{2}{3}$

Etapa 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Etapa 4

Encontre o primeiro termo da série, substituindo o limite inferior e simplificando.

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Etapa 4.1

Substitua $1$ por $k$ em $3 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ .

$a = 3 {(\frac{2}{3})}^{1 - 1}$

Etapa 4.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$a = 3 {(\frac{2}{3})}^{0}$

Etapa 4.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$a = 3 \frac{2^{0}}{3^{0}}$

Etapa 4.2.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = 3 \frac{1}{3^{0}}$

Etapa 4.2.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = 3 (\frac{1}{1})$

Etapa 4.2.5

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 4.2.5.1

Cancele o fator comum.

$a = 3 (\frac{1}{1})$

Etapa 4.2.5.2

Reescreva a expressão.

$a = 3 \cdot 1$

Etapa 4.2.6

Multiplique $3$ por $1$ .

$a = 3$

Etapa 5

Substitua os valores da razão e o primeiro termo na fórmula da soma.

$\frac{3}{1 - \frac{2}{3}}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.1.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{3}{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}$

Etapa 6.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3}{\frac{3 - 2}{3}}$

Etapa 6.1.3

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{3}{\frac{1}{3}}$

Etapa 6.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$3 \cdot 3$

Etapa 6.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$9$