Pré-cálculo Exemplos

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{7}{8^{k}}$

Etapa 1

A soma de uma série geométrica infinita pode ser encontrada pela fórmula $\frac{a}{1 - r}$ , em que $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão entre os termos sucessivos.

Etapa 2

Encontre a razão dos termos sucessivos substituindo a fórmula $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua $a_{k}$ e $a_{k + 1}$ na fórmula por $r$ .

$r = \frac{\frac{7}{8^{k + 1}}}{\frac{7}{8^{k}}}$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$r = \frac{7}{8^{k + 1}} \cdot \frac{8^{k}}{7}$

Etapa 2.2.2

Combine.

$r = \frac{7 \cdot 8^{k}}{8^{k + 1} \cdot 7}$

Etapa 2.2.3

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$r = \frac{7 \cdot 8^{k}}{8^{k + 1} \cdot 7}$

Etapa 2.2.3.2

Reescreva a expressão.

$r = \frac{8^{k}}{8^{k + 1}}$

Etapa 2.2.4

Cancele o fator comum de $8^{k}$ e $8^{k + 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Fatore $8^{k + 1}$ de $8^{k}$ .

$r = \frac{8^{k + 1} \cdot 8^{k - (k + 1)}}{8^{k + 1}}$

Etapa 2.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.2.1

Multiplique por $1$ .

$r = \frac{8^{k + 1} \cdot 8^{k - (k + 1)}}{8^{k + 1} \cdot 1}$

Etapa 2.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$r = \frac{8^{k + 1} \cdot 8^{k - (k + 1)}}{8^{k + 1} \cdot 1}$

Etapa 2.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$r = \frac{8^{k - (k + 1)}}{1}$

Etapa 2.2.4.2.4

Divida $8^{k - (k + 1)}$ por $1$ .

$r = 8^{k - (k + 1)}$

Etapa 2.2.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$r = 8^{k - k - 1 \cdot 1}$

Etapa 2.2.5.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$r = 8^{k - k - 1}$

Etapa 2.2.6

Subtraia $k$ de $k$ .

$r = 8^{0 - 1}$

Etapa 2.2.7

Subtraia $1$ de $0$ .

$r = 8^{- 1}$

Etapa 2.2.8

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = \frac{1}{8}$

Etapa 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Etapa 4

Encontre o primeiro termo da série, substituindo o limite inferior e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $1$ por $k$ em $\frac{7}{8^{k}}$ .

$a = \frac{7}{8^{1}}$

Etapa 4.2

Avalie o expoente.

$a = \frac{7}{8}$

Etapa 5

Substitua os valores da razão e o primeiro termo na fórmula da soma.

$\frac{\frac{7}{8}}{1 - \frac{1}{8}}$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{8}}$

Etapa 6.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{\frac{8}{8} - \frac{1}{8}}$

Etapa 6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{\frac{8 - 1}{8}}$

Etapa 6.2.3

Subtraia $1$ de $8$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{\frac{7}{8}}$

Etapa 6.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{7}{8} (1 (\frac{8}{7}))$

Etapa 6.4

Multiplique $\frac{8}{7}$ por $1$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{8}{7}$

Etapa 6.5

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{8}{7}$

Etapa 6.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{8} \cdot 8$

Etapa 6.6

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{8} \cdot 8$

Etapa 6.6.2

Reescreva a expressão.

$1$