Pré-cálculo Exemplos

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{9 + 2 x} - 5}{\sqrt[3]{x} - 2}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{9 + 2 x} - 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{9 + 2 x} - lim_{x \to 8} 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 9 + 2 x} - lim_{x \to 8} 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

Etapa 1.1.2.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 9 + lim_{x \to 8} 2 x} - lim_{x \to 8} 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

Etapa 1.1.2.1.4

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{\sqrt{9 + lim_{x \to 8} 2 x} - lim_{x \to 8} 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

Etapa 1.1.2.1.5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

Etapa 1.1.2.1.6

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 8} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1

Multiplique $2$ por $8$ .

$\frac{\sqrt{9 + 16} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Some $9$ e $16$ .

$\frac{\sqrt{25} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

Etapa 1.1.2.3.1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{5 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

Etapa 1.1.2.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{5 - 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $5$ de $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - lim_{x \to 8} 2}$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{0}{\sqrt[3]{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 2}$

Etapa 1.1.3.1.3

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{0}{\sqrt[3]{lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{0}{\sqrt[3]{8} - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{0}{\sqrt[3]{2^{3}} - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.1.3.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{9 + 2 x} - 5}{\sqrt[3]{x} - 2} = lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{9 + 2 x} - 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{9 + 2 x} - 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{9 + 2 x} - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt{9 + 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{9 + 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{9 + 2 x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{9 + 2 x}$ como ${(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [{(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 9 + 2 x$ .

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Etapa 1.3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $9 + 2 x$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Etapa 1.3.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Etapa 1.3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $9 + 2 x$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Etapa 1.3.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 + 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Etapa 1.3.3.4

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Etapa 1.3.3.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Etapa 1.3.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Etapa 1.3.3.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Etapa 1.3.3.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Etapa 1.3.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Etapa 1.3.3.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Etapa 1.3.3.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Etapa 1.3.3.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Etapa 1.3.3.12

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Etapa 1.3.3.13

Some $0$ e $2$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Etapa 1.3.3.14

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(9 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{{(9 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Etapa 1.3.3.15

Combine $\frac{{(9 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $2$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{{(9 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Etapa 1.3.3.16

Mova $2$ para a esquerda de ${(9 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{2 \cdot {(9 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Etapa 1.3.3.17

Mova ${(9 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{2}{2 {(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Etapa 1.3.3.18

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{2}{2 {(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Etapa 1.3.3.19

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Etapa 1.3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Some $\frac{1}{{(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Etapa 1.3.5.2

Reordene os termos.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt[3]{x} - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 1.3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 1.3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 1.3.7.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 1.3.7.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 1.3.7.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 1.3.7.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 1.3.7.6.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 1.3.7.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 1.3.8

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + 0}$

Etapa 1.3.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.9.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + 0}$

Etapa 1.3.9.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.9.2.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0}$

Etapa 1.3.9.2.2

Some $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 8} \frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 1.5

Reescreva ${(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{2 x + 9}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{\sqrt{2 x + 9}} (3 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 1.6

Combine os fatores.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Combine $3$ e $\frac{1}{\sqrt{2 x + 9}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{3}{\sqrt{2 x + 9}} x^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1.6.2

Combine $\frac{3}{\sqrt{2 x + 9}}$ e $x^{\frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{2 x + 9}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$3 lim_{x \to 8} \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{2 x + 9}}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$3 \frac{lim_{x \to 8} x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 8} \sqrt{2 x + 9}}$

Etapa 2.3

Mova o expoente $\frac{2}{3}$ de $x^{\frac{2}{3}}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$3 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 8} \sqrt{2 x + 9}}$

Etapa 2.4

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$3 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{lim_{x \to 8} 2 x + 9}}$

Etapa 2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$3 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 9}}$

Etapa 2.6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$3 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{2 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 9}}$

Etapa 2.7

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$3 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{2 lim_{x \to 8} x + 9}}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$3 \frac{8^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{2 lim_{x \to 8} x + 9}}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$3 \frac{8^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{2 \cdot 8 + 9}}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$3 \frac{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{2 \cdot 8 + 9}}$

Etapa 4.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{2^{3 (\frac{2}{3})}}{\sqrt{2 \cdot 8 + 9}}$

Etapa 4.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{2^{3 (\frac{2}{3})}}{\sqrt{2 \cdot 8 + 9}}$

Etapa 4.1.3.2

Reescreva a expressão.

$3 \frac{2^{2}}{\sqrt{2 \cdot 8 + 9}}$

Etapa 4.1.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$3 \frac{4}{\sqrt{2 \cdot 8 + 9}}$

Etapa 4.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Multiplique $2$ por $8$ .

$3 \frac{4}{\sqrt{16 + 9}}$

Etapa 4.2.2

Some $16$ e $9$ .

$3 \frac{4}{\sqrt{25}}$

Etapa 4.2.3

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$3 \frac{4}{\sqrt{5^{2}}}$

Etapa 4.2.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$3 (\frac{4}{5})$

Etapa 4.3

Multiplique $3 (\frac{4}{5})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Combine $3$ e $\frac{4}{5}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{5}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{12}{5}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{12}{5}$

Forma decimal:

$2.4$