Pré-cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\cot (2 x)}{\csc (6 x)}$

Etapa 1

Aplique identidades trigonométricas.

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Etapa 1.1

Reescreva $\csc (6 x)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{x \to 0} \frac{\cot (2 x)}{\frac{1}{\sin (6 x)}}$

Etapa 1.2

Reescreva $\cot (2 x)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{1}{\sin (6 x)}}$

Etapa 1.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\sin (6 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (6 x)$

Etapa 1.4

Escreva $\sin (6 x)$ como uma fração com denominador $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (6 x)}{1}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Divida $\sin (6 x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (6 x)$

Etapa 1.5.2

Converta de $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ em $\cot (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \cot (2 x) \sin (6 x)$

Etapa 2

Considere o valor crítico esquerdo.

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (2 x) \sin (6 x)$

Etapa 3

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $\cot (2 x) \sin (6 x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da esquerda.

$\begin{array}{c} x & \cot (2 x) \sin (6 x) \\ - 0.1 & 2.78546877 \\ - 0.01 & 2.99780055 \\ - 0.001 & 2.999978 \\ - 0.0001 & 2.99999978 \end{array}$

Etapa 4

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $0$ , os valores da função se aproximam de $3$ . Portanto, o limite de $\cot (2 x) \sin (6 x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da esquerda é $3$ .

$3$

Etapa 5

Considere o valor crítico direito.

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (2 x) \sin (6 x)$

Etapa 6

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $\cot (2 x) \sin (6 x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da direita.

$\begin{array}{c} x & \cot (2 x) \sin (6 x) \\ 0.1 & 2.78546877 \\ 0.01 & 2.99780055 \\ 0.001 & 2.999978 \\ 0.0001 & 2.99999978 \end{array}$

Etapa 7

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $0$ , os valores da função se aproximam de $3$ . Portanto, o limite de $\cot (2 x) \sin (6 x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da direita é $3$ .

$3$