Pré-cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 - x)}^{4} - 16}{x}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} {(2 - x)}^{4} - 16}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} {(2 - x)}^{4} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o expoente $4$ de ${(2 - x)}^{4}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 0} 2 - x)}^{4} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.4

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{{(2 - lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.5

Avalie o limite de $16$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{{(2 - lim_{x \to 0} x)}^{4} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique os termos.

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Etapa 1.1.2.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{{(2 + 0)}^{4} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.6.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.6.2.1.1

Some $2$ e $0$ .

$\frac{2^{4} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.6.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$\frac{16 - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.6.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$\frac{16 - 16}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.6.2.2

Subtraia $16$ de $16$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 - x)}^{4} - 16}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{4} - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{4} - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de ${(2 - x)}^{4} - 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{4}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 2 - x$ .

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Etapa 1.3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [2 - x] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 u^{3} \frac{d}{d x} [2 - x] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [2 - x] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} (0 - \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} (0 - 1) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.7

Subtraia $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.8

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 {(2 - x)}^{3} + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 {(2 - x)}^{3} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.5

Some $- 4 {(2 - x)}^{3}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 {(2 - x)}^{3}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 {(2 - x)}^{3}}{1}$

Etapa 1.4

Divida $- 4 {(2 - x)}^{3}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} - 4 {(2 - x)}^{3}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $- 4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- 4 lim_{x \to 0} {(2 - x)}^{3}$

Etapa 2.2

Mova o expoente $3$ de ${(2 - x)}^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$- 4 {(lim_{x \to 0} 2 - x)}^{3}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$- 4 {(lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} x)}^{3}$

Etapa 2.4

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$- 4 {(2 - lim_{x \to 0} x)}^{3}$

Etapa 2.5

Simplifique os termos.

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Etapa 2.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- 4 {(2 + 0)}^{3}$

Etapa 2.5.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.5.2.1

Some $2$ e $0$ .

$- 4 \cdot 2^{3}$

Etapa 2.5.2.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$- 4 \cdot 8$

Etapa 2.5.2.3

Multiplique $- 4$ por $8$ .

$- 32$