Pré-cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) - \cos (x)}{4 x^{2}}$

Etapa 1

Mova o termo $\frac{1}{4}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) - \cos (x)}{x^{2}}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (5 x) - \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (5 x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.2.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} 5 x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.2.3

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.2.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.2.5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.2.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0) - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.2.6

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.1.1

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\cos (0) - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.2.6.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.2.6.1.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.2.6.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.2.6.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

Etapa 2.1.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) - \cos (x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (5 x) - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (5 x) - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cos (5 x) - \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ .

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Etapa 2.3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 2.3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.3.1.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.3.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.3.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (5 x) \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.3.5

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin (5 x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Etapa 2.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin (5 x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.4.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin (5 x) - - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.4.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin (5 x) + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.4.4

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin (5 x) + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin (5 x) + \sin (x)}{2 x}$

Etapa 3

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin (5 x) + \sin (x)}{x}$

Etapa 4

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 4.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} - 5 \sin (5 x) + \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- lim_{x \to 0} 5 \sin (5 x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.2.2

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 5 lim_{x \to 0} \sin (5 x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.2.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 5 \sin (lim_{x \to 0} 5 x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.2.4

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 5 \sin (5 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.2.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 5 \sin (5 lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.2.6

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 5 \sin (5 \cdot 0) + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.2.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 5 \sin (5 \cdot 0) + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.2.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1.2.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.7.1.1

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 5 \sin (0) + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.2.7.1.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 5 \cdot 0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.2.7.1.3

Multiplique $- 5$ por $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.2.7.1.4

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.2.7.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

Etapa 4.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

Etapa 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin (5 x) + \sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 5 \sin (5 x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 4.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 5 \sin (5 x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 5 \sin (5 x) + \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 5 \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 5 \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 \sin (5 x)]$ .

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Etapa 4.3.3.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 \sin (5 x)$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 4.3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \cos (u) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.3.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \cos (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.3.5

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \cos (5 x) \cdot 5 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.3.6

Mova $5$ para a esquerda de $\cos (5 x)$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \cdot 5 \cdot \cos (5 x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.3.7

Multiplique $5$ por $- 5$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 25 \cos (5 x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.4

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 25 \cos (5 x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 25 \cos (5 x) + \cos (x)}{1}$

Etapa 4.4

Divida $- 25 \cos (5 x) + \cos (x)$ por $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} - 25 \cos (5 x) + \cos (x)$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} (- lim_{x \to 0} 25 \cos (5 x) + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Etapa 5.2

Mova o termo $25$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} (- 25 lim_{x \to 0} \cos (5 x) + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Etapa 5.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} (- 25 \cos (lim_{x \to 0} 5 x) + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Etapa 5.4

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} (- 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Etapa 5.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} (- 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x))$

Etapa 6

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} (- 25 \cos (5 \cdot 0) + \cos (lim_{x \to 0} x))$

Etapa 6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} (- 25 \cos (5 \cdot 0) + \cos (0))$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Multiplique $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 2} (- 25 \cos (5 \cdot 0) + \cos (0))$

Etapa 7.1.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{1}{8} (- 25 \cos (5 \cdot 0) + \cos (0))$

Etapa 7.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{1}{8} (- 25 \cos (0) + \cos (0))$

Etapa 7.2.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{8} (- 25 \cdot 1 + \cos (0))$

Etapa 7.2.3

Multiplique $- 25$ por $1$ .

$\frac{1}{8} (- 25 + \cos (0))$

Etapa 7.2.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{8} (- 25 + 1)$

Etapa 7.3

Some $- 25$ e $1$ .

$\frac{1}{8} \cdot - 24$

Etapa 7.4

Cancele o fator comum de $8$ .

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Etapa 7.4.1

Fatore $8$ de $- 24$ .

$\frac{1}{8} \cdot (8 (- 3))$

Etapa 7.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{8} \cdot (8 \cdot - 3)$

Etapa 7.4.3

Reescreva a expressão.

$- 3$