Pré-cálculo Exemplos

$lim_{x \to 8} {(\frac{2 x - 1}{x + 2})}^{\frac{1}{x - 3}}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(\frac{2 x - 1}{x + 2})}^{\frac{1}{x - 3}}$ como $e^{\ln ({(\frac{2 x - 1}{x + 2})}^{\frac{1}{x - 3}})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{2 x - 1}{x + 2})}^{\frac{1}{x - 3}})}$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({(\frac{2 x - 1}{x + 2})}^{\frac{1}{x - 3}})$ movendo $\frac{1}{x - 3}$ para fora do logaritmo.

$lim_{x \to 8} e^{\frac{1}{x - 3} \ln (\frac{2 x - 1}{x + 2})}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{x \to 8} \frac{1}{x - 3} \ln (\frac{2 x - 1}{x + 2})}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} \frac{1}{x - 3} \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 1}{x + 2})}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x - 3} \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 1}{x + 2})}$

Etapa 2.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 3} \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 1}{x + 2})}$

Etapa 2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 3} \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 1}{x + 2})}$

Etapa 2.6

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3} \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 1}{x + 2})}$

Etapa 2.7

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3} \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{2 x - 1}{x + 2})}$

Etapa 2.8

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} 2 x - 1}{lim_{x \to 8} x + 2})}$

Etapa 2.9

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} 2 x - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x + 2})}$

Etapa 2.10

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x + 2})}$

Etapa 2.11

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + 2})}$

Etapa 2.12

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2})}$

Etapa 2.13

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + 2})}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$e^{\frac{1}{8 - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + 2})}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$e^{\frac{1}{8 - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + 2})}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$e^{\frac{1}{8 - 1 \cdot 3} \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 1}{8 + 2})}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$e^{\frac{1}{8 - 3} \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 1}{8 + 2})}$

Etapa 4.1.2

Subtraia $3$ de $8$ .

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 1}{8 + 2})}$

Etapa 4.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $2$ por $8$ .

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{16 - 1 \cdot 1}{8 + 2})}$

Etapa 4.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{16 - 1}{8 + 2})}$

Etapa 4.2.3

Subtraia $1$ de $16$ .

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{15}{8 + 2})}$

Etapa 4.3

Some $8$ e $2$ .

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{15}{10})}$

Etapa 4.4

Cancele o fator comum de $15$ e $10$ .

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Etapa 4.4.1

Fatore $5$ de $15$ .

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{5 (3)}{10})}$

Etapa 4.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.4.2.1

Fatore $5$ de $10$ .

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2})}$

Etapa 4.4.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2})}$

Etapa 4.4.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{3}{2})}$

Etapa 4.5

Combine $\frac{1}{5}$ e $\ln (\frac{3}{2})$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{3}{2})}{5}}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$e^{\frac{\ln (\frac{3}{2})}{5}}$

Forma decimal:

$1.08447177 \dots$