Pré-cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 + x)}^{2} - 4}{x}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{2} - 4}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{2} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o expoente $2$ de ${(2 + x)}^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 0} 2 + x)}^{2} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.1.4

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{{(2 + lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.1.5

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{{(2 + lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{{(2 + 0)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Some $2$ e $0$ .

$\frac{2^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 + x)}^{2} - 4}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.2

Reescreva ${(2 + x)}^{2}$ como $(2 + x) (2 + x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [(2 + x) (2 + x) - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3

Expanda $(2 + x) (2 + x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 (2 + x) + x (2 + x) - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 + 2 x + x (2 + x) - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 + 2 x + x \cdot 2 + x \cdot x - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.4.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 + 2 x + x \cdot 2 + x \cdot x - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 + 2 x + 2 \cdot x + x \cdot x - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.1.3

Multiplique $x$ por $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 + 2 x + 2 x + x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.2

Some $2 x$ e $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 + 4 x + x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 + 4 x + x^{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.6

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 1.3.7.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.7.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 4 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 4 + 2 x + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.9

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 4 + 2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.10

Simplifique.

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Etapa 1.3.10.1

Combine os termos.

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Etapa 1.3.10.1.1

Some $0$ e $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 + 2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.10.1.2

Some $4 + 2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 + 2 x}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.10.2

Reordene os termos.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 4}{1}$

Etapa 1.4

Divida $2 x + 4$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} 2 x + 4$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 4$

Etapa 2.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 4$

Etapa 2.3

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$2 lim_{x \to 0} x + 4$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$2 \cdot 0 + 4$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$0 + 4$

Etapa 4.2

Some $0$ e $4$ .

$4$