Pré-cálculo Exemplos

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1 - \cos (2 x)}{3 x \sin (2 x)}$

Etapa 1

Mova o termo $\frac{1}{3}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1 - \cos (2 x)}{x \sin (2 x)}$

Etapa 2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - \cos (2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \sin (2 x)}$

Etapa 3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \sin (2 x)}$

Etapa 4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \sin (2 x)}$

Etapa 5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \sin (2 x)}$

Etapa 6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \sin (2 x)}$

Etapa 7

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (2 x)}$

Etapa 8

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}$

Etapa 9

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \cdot \sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Etapa 10

Avalie os limites substituindo $\frac{π}{4}$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 10.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \cdot \sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Etapa 10.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 \frac{π}{4})}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Etapa 10.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 \frac{π}{4})}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

Etapa 11

Simplifique a resposta.

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Etapa 11.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 11.1.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 \frac{π}{2 (2)})}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

Etapa 11.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

Etapa 11.1.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (\frac{π}{2})}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

Etapa 11.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 0}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

Etapa 11.1.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 0}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

Etapa 11.1.4

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

Etapa 11.2

Combine $\frac{π}{4}$ e $\sin (2 \frac{π}{4})$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π \sin (2 \frac{π}{4})}{4}}$

Etapa 11.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 11.3.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π \sin (2 \frac{π}{2 (2)})}{4}}$

Etapa 11.3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}{4}}$

Etapa 11.3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4}}$

Etapa 11.3.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π \cdot 1}{4}}$

Etapa 11.4

Multiplique $π$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π}{4}}$

Etapa 11.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{3} (1 \frac{4}{π})$

Etapa 11.6

Multiplique $\frac{4}{π}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{π}$

Etapa 11.7

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{3 π}$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{4}{3 π}$

Forma decimal:

$0.42441318 \dots$