Pré-cálculo Exemplos

$lim_{w \to 4} \frac{3 \sqrt{w} - 6}{w - 4}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{w \to 4} 3 \sqrt{w} - 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $w$ se aproxima de $4$ .

$\frac{lim_{w \to 4} 3 \sqrt{w} - lim_{w \to 4} 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $w$ .

$\frac{3 lim_{w \to 4} \sqrt{w} - lim_{w \to 4} 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

Etapa 1.1.2.1.3

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{3 \sqrt{lim_{w \to 4} w} - lim_{w \to 4} 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

Etapa 1.1.2.1.4

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $w$ se aproxima de $4$ .

$\frac{3 \sqrt{lim_{w \to 4} w} - 1 \cdot 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $w$ substituindo $4$ por $w$ .

$\frac{3 \sqrt{4} - 1 \cdot 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{3 \cdot 2 - 1 \cdot 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6 - 1 \cdot 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

Etapa 1.1.2.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{6 - 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $6$ de $6$ .

$\frac{0}{lim_{w \to 4} w - 4}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $w$ se aproxima de $4$ .

$\frac{0}{lim_{w \to 4} w - lim_{w \to 4} 4}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $w$ se aproxima de $4$ .

$\frac{0}{lim_{w \to 4} w - 1 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $w$ substituindo $4$ por $w$ .

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{w \to 4} \frac{3 \sqrt{w} - 6}{w - 4} = lim_{w \to 4} \frac{\frac{d}{d w} [3 \sqrt{w} - 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{d}{d w} [3 \sqrt{w} - 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 \sqrt{w} - 6$ com relação a $w$ é $\frac{d}{d w} [3 \sqrt{w}] + \frac{d}{d w} [- 6]$ .

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{d}{d w} [3 \sqrt{w}] + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d w} [3 \sqrt{w}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{w}$ como $w^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{d}{d w} [3 w^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Etapa 1.3.3.2

Como $3$ é constante em relação a $w$ , a derivada de $3 w^{\frac{1}{2}}$ em relação a $w$ é $3 \frac{d}{d w} [w^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{w \to 4} \frac{3 \frac{d}{d w} [w^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Etapa 1.3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ é $n w^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{w \to 4} \frac{3 (\frac{1}{2} w^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Etapa 1.3.3.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{w \to 4} \frac{3 (\frac{1}{2} w^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Etapa 1.3.3.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{w \to 4} \frac{3 (\frac{1}{2} w^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Etapa 1.3.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{w \to 4} \frac{3 (\frac{1}{2} w^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Etapa 1.3.3.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.3.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{w \to 4} \frac{3 (\frac{1}{2} w^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Etapa 1.3.3.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{w \to 4} \frac{3 (\frac{1}{2} w^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Etapa 1.3.3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{w \to 4} \frac{3 (\frac{1}{2} w^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Etapa 1.3.3.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $w^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{w \to 4} \frac{3 \frac{w^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Etapa 1.3.3.10

Combine $3$ e $\frac{w^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{3 w^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Etapa 1.3.3.11

Mova $w^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 6$ é constante em relação a $w$ , a derivada de $- 6$ em relação a $w$ é $0$ .

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Etapa 1.3.5

Some $\frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $w - 4$ com relação a $w$ é $\frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [- 4]$ .

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [- 4]}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ é $n w^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d w} [- 4]}$

Etapa 1.3.8

Como $- 4$ é constante em relação a $w$ , a derivada de $- 4$ em relação a $w$ é $0$ .

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Etapa 1.3.9

Some $1$ e $0$ .

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{w \to 4} \frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Etapa 1.5

Reescreva $w^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{w}$ .

$lim_{w \to 4} \frac{3}{2 \sqrt{w}} \cdot 1$

Etapa 1.6

Multiplique $\frac{3}{2 \sqrt{w}}$ por $1$ .

$lim_{w \to 4} \frac{3}{2 \sqrt{w}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $\frac{3}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $w$ .

$\frac{3}{2} lim_{w \to 4} \frac{1}{\sqrt{w}}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $w$ se aproxima de $4$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{lim_{w \to 4} 1}{lim_{w \to 4} \sqrt{w}}$

Etapa 2.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $w$ se aproxima de $4$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{lim_{w \to 4} \sqrt{w}}$

Etapa 2.4

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{w \to 4} w}}$

Etapa 3

Avalie o limite de $w$ substituindo $4$ por $w$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4}}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 4.1.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 4.2.1

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{3}{4}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{3}{4}$

Forma decimal:

$0.75$