Pré-cálculo Exemplos

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 x^{3} - 1}{6 x^{2} - 5 x + 1}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x^{3} - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x^{3} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o termo $8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{8 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{3} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Etapa 1.1.2.1.3

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{8 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{3} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Etapa 1.1.2.1.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{8 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{3} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{1}{2}$ por $x$ .

$\frac{8 {(\frac{1}{2})}^{3} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{8 \frac{1^{3}}{2^{3}} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{8 \frac{1}{2^{3}} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{8 (\frac{1}{8}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Etapa 1.1.2.3.1.4

Cancele o fator comum de $8$ .

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Etapa 1.1.2.3.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 (\frac{1}{8}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Etapa 1.1.2.3.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Etapa 1.1.2.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 5 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{6 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 5 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 5 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Etapa 1.1.3.4

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Etapa 1.1.3.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 1}$

Etapa 1.1.3.6

Avalie os limites substituindo $\frac{1}{2}$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.3.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{1}{2}$ por $x$ .

$\frac{0}{6 {(\frac{1}{2})}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 1}$

Etapa 1.1.3.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{1}{2}$ por $x$ .

$\frac{0}{6 {(\frac{1}{2})}^{2} - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Etapa 1.1.3.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.7.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{6 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Etapa 1.1.3.7.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{0}{6 \frac{1}{2^{2}} - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Etapa 1.1.3.7.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{6 (\frac{1}{4}) - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Etapa 1.1.3.7.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.1.3.7.1.4.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{0}{2 (3) \frac{1}{4} - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Etapa 1.1.3.7.1.4.2

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{0}{2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 2} - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Etapa 1.1.3.7.1.4.3

Cancele o fator comum.

$\frac{0}{2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 2} - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Etapa 1.1.3.7.1.4.4

Reescreva a expressão.

$\frac{0}{3 (\frac{1}{2}) - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Etapa 1.1.3.7.1.5

Combine $3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{\frac{3}{2} - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Etapa 1.1.3.7.1.6

Combine $- 5$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{\frac{3}{2} + \frac{- 5}{2} + 1}$

Etapa 1.1.3.7.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{0}{\frac{3}{2} - \frac{5}{2} + 1}$

Etapa 1.1.3.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{0}{1 + \frac{3 - 5}{2}}$

Etapa 1.1.3.7.3

Subtraia $5$ de $3$ .

$\frac{0}{1 + \frac{- 2}{2}}$

Etapa 1.1.3.7.4

Divida $- 2$ por $2$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Etapa 1.1.3.7.5

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.7.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.8

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 x^{3} - 1}{6 x^{2} - 5 x + 1} = lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{3} - 1]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{3} - 1]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 x^{3} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{3}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

Etapa 1.3.3.3

Multiplique $3$ por $8$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2} + 0}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

Etapa 1.3.5

Some $24 x^{2}$ e $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{2} - 5 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Etapa 1.3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.7.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Etapa 1.3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Etapa 1.3.7.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{12 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Etapa 1.3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Etapa 1.3.8.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{12 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Etapa 1.3.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{12 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}$

Etapa 1.3.8.3

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{12 x - 5 + \frac{d}{d x} [1]}$

Etapa 1.3.9

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{12 x - 5 + 0}$

Etapa 1.3.10

Some $12 x - 5$ e $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{12 x - 5}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $24$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$24 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x^{2}}{12 x - 5}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{1}{2}$ .

$24 \frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2}}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 12 x - 5}$

Etapa 2.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$24 \frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2}}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 12 x - 5}$

Etapa 2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{1}{2}$ .

$24 \frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2}}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 12 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 5}$

Etapa 2.5

Mova o termo $12$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$24 \frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2}}{12 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 5}$

Etapa 2.6

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{1}{2}$ .

$24 \frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2}}{12 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 5}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $\frac{1}{2}$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{1}{2}$ por $x$ .

$24 \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{12 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 5}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{1}{2}$ por $x$ .

$24 \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{12 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 5}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$24 \frac{\frac{1^{2}}{2^{2}}}{12 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 5}$

Etapa 4.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$24 \frac{\frac{1}{2^{2}}}{12 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 5}$

Etapa 4.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$24 \frac{\frac{1}{4}}{12 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 5}$

Etapa 4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Fatore $2$ de $12$ .

$24 \frac{\frac{1}{4}}{2 (6) \frac{1}{2} - 1 \cdot 5}$

Etapa 4.2.1.2

Cancele o fator comum.

$24 \frac{\frac{1}{4}}{2 \cdot 6 \frac{1}{2} - 1 \cdot 5}$

Etapa 4.2.1.3

Reescreva a expressão.

$24 \frac{\frac{1}{4}}{6 - 1 \cdot 5}$

Etapa 4.2.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$24 \frac{\frac{1}{4}}{6 - 5}$

Etapa 4.2.3

Subtraia $5$ de $6$ .

$24 \frac{\frac{1}{4}}{1}$

Etapa 4.3

Divida $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$24 (\frac{1}{4})$

Etapa 4.4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.4.1

Fatore $4$ de $24$ .

$4 (6) \frac{1}{4}$

Etapa 4.4.2

Cancele o fator comum.

$4 \cdot 6 \frac{1}{4}$

Etapa 4.4.3

Reescreva a expressão.

$6$