Pré-cálculo Exemplos

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + x - 6}{2 x - 4}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}{lim_{x \to 2} 2 x - 4}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 6}{lim_{x \to 2} 2 x - 4}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 6}{lim_{x \to 2} 2 x - 4}$

Etapa 1.1.2.3

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 2} 2 x - 4}$

Etapa 1.1.2.4

Avalie os limites substituindo $2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{2^{2} + lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 2} 2 x - 4}$

Etapa 1.1.2.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{2^{2} + 2 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 2} 2 x - 4}$

Etapa 1.1.2.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.5.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{4 + 2 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 2} 2 x - 4}$

Etapa 1.1.2.5.1.2

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{4 + 2 - 6}{lim_{x \to 2} 2 x - 4}$

Etapa 1.1.2.5.2

Some $4$ e $2$ .

$\frac{6 - 6}{lim_{x \to 2} 2 x - 4}$

Etapa 1.1.2.5.3

Subtraia $6$ de $6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} 2 x - 4}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 4}$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 4}$

Etapa 1.1.3.1.3

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + x - 6}{2 x - 4} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 6]}{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 6]}{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}$

Etapa 1.3.5

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 1 + 0}{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}$

Etapa 1.3.6

Some $2 x + 1$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}$

Etapa 1.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 1.3.8.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 1}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 1}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.8.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 1}{2 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.9

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 1}{2 + 0}$

Etapa 1.3.10

Some $2$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 1}{2}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 2} 2 x + 1$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{1}{2} (lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 1)$

Etapa 2.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} (2 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 1)$

Etapa 2.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{1}{2} (2 lim_{x \to 2} x + 1)$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 2 + 1)$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (4 + 1)$

Etapa 4.2

Some $4$ e $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 5$

Etapa 4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $5$ .

$\frac{5}{2}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{5}{2}$

Forma decimal:

$2.5$