Pré-cálculo Exemplos

$lim_{x \to 7} \frac{2 - \sqrt{x - 3}}{x^{2} - 49}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 7} 2 - \sqrt{x - 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $7$ .

$\frac{lim_{x \to 7} 2 - lim_{x \to 7} \sqrt{x - 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Etapa 1.1.2.1.2

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $7$ .

$\frac{2 - lim_{x \to 7} \sqrt{x - 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Etapa 1.1.2.1.3

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{2 - \sqrt{lim_{x \to 7} x - 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Etapa 1.1.2.1.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $7$ .

$\frac{2 - \sqrt{lim_{x \to 7} x - lim_{x \to 7} 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Etapa 1.1.2.1.5

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $7$ .

$\frac{2 - \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $7$ por $x$ .

$\frac{2 - \sqrt{7 - 1 \cdot 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{2 - \sqrt{7 - 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Subtraia $3$ de $7$ .

$\frac{2 - \sqrt{4}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2^{2}}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Etapa 1.1.2.3.1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Etapa 1.1.2.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $7$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 7} x^{2} - lim_{x \to 7} 49}$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 7} x)}^{2} - lim_{x \to 7} 49}$

Etapa 1.1.3.1.3

Avalie o limite de $49$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $7$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 7} x)}^{2} - 1 \cdot 49}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $7$ por $x$ .

$\frac{0}{7^{2} - 1 \cdot 49}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.1

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{49 - 1 \cdot 49}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $49$ .

$\frac{0}{49 - 49}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $49$ de $49$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 7} \frac{2 - \sqrt{x - 3}}{x^{2} - 49} = lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - \sqrt{x - 3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Etapa 1.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x - 3}$ como ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Etapa 1.3.4.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Etapa 1.3.4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x - 3$ .

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Etapa 1.3.4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 3$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 3])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Etapa 1.3.4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Etapa 1.3.4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 3$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Etapa 1.3.4.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Etapa 1.3.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Etapa 1.3.4.6

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Etapa 1.3.4.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Etapa 1.3.4.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Etapa 1.3.4.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Etapa 1.3.4.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.4.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Etapa 1.3.4.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Etapa 1.3.4.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Etapa 1.3.4.12

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Etapa 1.3.4.13

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Etapa 1.3.4.14

Multiplique $\frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - \frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Etapa 1.3.4.15

Mova ${(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Etapa 1.3.5

Subtraia $\frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 49$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 49]$ .

$lim_{x \to 7} \frac{- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 49]}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 7} \frac{- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 49]}$

Etapa 1.3.8

Como $- 49$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 49$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 0}$

Etapa 1.3.9

Some $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 7} - \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$

Etapa 1.5

Reescreva ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x - 3}$ .

$lim_{x \to 7} - \frac{1}{2 \sqrt{x - 3}} \cdot \frac{1}{2 x}$

Etapa 1.6

Combine os fatores.

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Etapa 1.6.1

Multiplique $\frac{1}{2 x}$ por $\frac{1}{2 \sqrt{x - 3}}$ .

$lim_{x \to 7} - \frac{1}{2 x (2 \sqrt{x - 3})}$

Etapa 1.6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$lim_{x \to 7} - \frac{1}{4 x \sqrt{x - 3}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- lim_{x \to 7} \frac{1}{4 x \sqrt{x - 3}}$

Etapa 2.2

Mova o termo $\frac{1}{4}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- \frac{1}{4} lim_{x \to 7} \frac{1}{x \sqrt{x - 3}}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $7$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 7} 1}{lim_{x \to 7} x \sqrt{x - 3}}$

Etapa 2.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $7$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} x \sqrt{x - 3}}$

Etapa 2.5

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $7$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} x \cdot lim_{x \to 7} \sqrt{x - 3}}$

Etapa 2.6

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 7} x - 3}}$

Etapa 2.7

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $7$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 7} x - lim_{x \to 7} 3}}$

Etapa 2.8

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $7$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 3}}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $7$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $7$ por $x$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \cdot \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 3}}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $7$ por $x$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \cdot \sqrt{7 - 1 \cdot 3}}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \sqrt{7 - 3}}$

Etapa 4.1.2

Subtraia $3$ de $7$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \sqrt{4}}$

Etapa 4.1.3

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \sqrt{2^{2}}}$

Etapa 4.1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \cdot 2}$

Etapa 4.2

Multiplique $7$ por $2$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{14}$

Etapa 4.3

Multiplique $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{14}$ .

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Etapa 4.3.1

Multiplique $\frac{1}{14}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{14 \cdot 4}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $14$ por $4$ .

$- \frac{1}{56}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{1}{56}$

Forma decimal:

$- 0.01785714 \dots$