Pré-cálculo Exemplos

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} + 2 x - 3}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - 4 x + 3}{lim_{x \to 1} x^{2} + 2 x - 3}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 4 x + lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} x^{2} + 2 x - 3}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 4 x + lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} x^{2} + 2 x - 3}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} x^{2} + 2 x - 3}$

Etapa 1.1.2.4

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 1} x + 3}{lim_{x \to 1} x^{2} + 2 x - 3}$

Etapa 1.1.2.5

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1^{2} - 4 lim_{x \to 1} x + 3}{lim_{x \to 1} x^{2} + 2 x - 3}$

Etapa 1.1.2.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1^{2} - 4 \cdot 1 + 3}{lim_{x \to 1} x^{2} + 2 x - 3}$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.6.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1 - 4 \cdot 1 + 3}{lim_{x \to 1} x^{2} + 2 x - 3}$

Etapa 1.1.2.6.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$\frac{1 - 4 + 3}{lim_{x \to 1} x^{2} + 2 x - 3}$

Etapa 1.1.2.6.2

Subtraia $4$ de $1$ .

$\frac{- 3 + 3}{lim_{x \to 1} x^{2} + 2 x - 3}$

Etapa 1.1.2.6.3

Some $- 3$ e $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} + 2 x - 3}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 3}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 3}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 3}$

Etapa 1.1.3.4

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3}$

Etapa 1.1.3.5

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.3.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{1^{2} + 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3}$

Etapa 1.1.3.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{1^{2} + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 3}$

Etapa 1.1.3.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.6.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{0}{1 + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 3}$

Etapa 1.1.3.6.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{0}{1 + 2 - 1 \cdot 3}$

Etapa 1.1.3.6.1.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{0}{1 + 2 - 3}$

Etapa 1.1.3.6.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Etapa 1.1.3.6.3

Subtraia $3$ de $3$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.6.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} + 2 x - 3} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4 + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]}$

Etapa 1.3.5

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]}$

Etapa 1.3.6

Some $2 x - 4$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]}$

Etapa 1.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4}{2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 1.3.9

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 1.3.9.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4}{2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 1.3.9.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4}{2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 1.3.9.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4}{2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 1.3.10

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4}{2 x + 2 + 0}$

Etapa 1.3.11

Some $2 x + 2$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4}{2 x + 2}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $2 x - 4$ e $2 x + 2$ .

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Etapa 1.4.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x) - 4}{2 x + 2}$

Etapa 1.4.2

Fatore $2$ de $- 4$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x) + 2 \cdot - 2}{2 x + 2}$

Etapa 1.4.3

Fatore $2$ de $2 (x) + 2 (- 2)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x - 2)}{2 x + 2}$

Etapa 1.4.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.4.4.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x - 2)}{2 (x) + 2}$

Etapa 1.4.4.2

Fatore $2$ de $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x - 2)}{2 (x) + 2 (1)}$

Etapa 1.4.4.3

Fatore $2$ de $2 (x) + 2 (1)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x - 2)}{2 (x + 1)}$

Etapa 1.4.4.4

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x - 2)}{2 (x + 1)}$

Etapa 1.4.4.5

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 1} \frac{x - 2}{x + 1}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x - 2}{lim_{x \to 1} x + 1}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x + 1}$

Etapa 2.3

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x + 1}$

Etapa 2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 1}$

Etapa 2.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x + 1}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x + 1}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 2}{1 + 1}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1 - 2}{1 + 1}$

Etapa 4.1.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{- 1}{1 + 1}$

Etapa 4.2

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Etapa 4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{1}{2}$

Forma decimal:

$- 0.5$