Pré-cálculo Exemplos

$\sum_{i = 0}^{8} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i}$

Etapa 1

Divida a soma para tornar o valor inicial de $i$ igual a $1$ .

$\sum_{k = 0}^{8} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i} = \sum_{k = 1}^{8} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i} + \sum_{k = 0}^{0} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i}$

Etapa 2

Avalie $\sum_{k = 1}^{8} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Divida a soma em somas menores que se enquadrem nas regras da soma.

$\sum_{k = 1}^{8} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i} = \sum_{k = 1}^{8} 256 + \sum_{k = 1}^{8} {(\frac{3}{2})}^{i}$

Etapa 2.2

Avalie $\sum_{k = 1}^{8} 256$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

A fórmula da soma de uma constante é:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Etapa 2.2.2

Substitua os valores na fórmula.

$(256) (8)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $256$ por $8$ .

$2048$

Etapa 2.3

Avalie $\sum_{k = 1}^{8} {(\frac{3}{2})}^{i}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

A soma de uma série geométrica finita pode ser encontrada pela fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , em que $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão entre os termos sucessivos.

Etapa 2.3.2

Encontre a razão dos termos sucessivos substituindo a fórmula $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Substitua $a_{k}$ e $a_{k + 1}$ na fórmula por $r$ .

$r = \frac{{(\frac{3}{2})}^{i + 1}}{{(\frac{3}{2})}^{i}}$

Etapa 2.3.2.2

Cancele o fator comum de ${(\frac{3}{2})}^{i + 1}$ e ${(\frac{3}{2})}^{i}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Fatore ${(\frac{3}{2})}^{i}$ de ${(\frac{3}{2})}^{i + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{3}{2})}^{i} \frac{3}{2}}{{(\frac{3}{2})}^{i}}$

Etapa 2.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$r = \frac{{(\frac{3}{2})}^{i} \frac{3}{2}}{{(\frac{3}{2})}^{i} \cdot 1}$

Etapa 2.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$r = \frac{{(\frac{3}{2})}^{i} \frac{3}{2}}{{(\frac{3}{2})}^{i} \cdot 1}$

Etapa 2.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$r = \frac{\frac{3}{2}}{1}$

Etapa 2.3.2.2.2.4

Divida $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$r = \frac{3}{2}$

Etapa 2.3.3

Encontre o primeiro termo da série, substituindo o limite inferior e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Substitua $1$ por $i$ em ${(\frac{3}{2})}^{i}$ .

$a = {(\frac{3}{2})}^{1}$

Etapa 2.3.3.2

Simplifique.

$a = \frac{3}{2}$

Etapa 2.3.4

Substitua os valores da razão, o primeiro termo e o número de termos na fórmula da soma.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1 - {(\frac{3}{2})}^{8}}{1 - \frac{3}{2}}$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1.1

Multiplique $\frac{1 - {(\frac{3}{2})}^{8}}{1 - \frac{3}{2}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{2} \cdot \frac{1 - {(\frac{3}{2})}^{8}}{1 - \frac{3}{2}})$

Etapa 2.3.5.1.2

Combine.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 (1 - {(\frac{3}{2})}^{8})}{2 (1 - \frac{3}{2})}$

Etapa 2.3.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{3}{2})}^{8})}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{3}{2})}$

Etapa 2.3.5.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3}{2}$ para o numerador.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{3}{2})}^{8})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 3}{2})}$

Etapa 2.3.5.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{3}{2})}^{8})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 3}{2})}$

Etapa 2.3.5.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{3}{2})}^{8})}{2 \cdot 1 - 3}$

Etapa 2.3.5.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.4.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + 2 (- {(\frac{3}{2})}^{8})}{2 \cdot 1 - 3}$

Etapa 2.3.5.4.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + 2 (- \frac{3^{8}}{2^{8}})}{2 \cdot 1 - 3}$

Etapa 2.3.5.4.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.4.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3^{8}}{2^{8}}$ para o numerador.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + 2 \frac{- 3^{8}}{2^{8}}}{2 \cdot 1 - 3}$

Etapa 2.3.5.4.3.2

Fatore $2$ de $2^{8}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + 2 \frac{- 3^{8}}{2 \cdot 2^{7}}}{2 \cdot 1 - 3}$

Etapa 2.3.5.4.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + 2 \frac{- 3^{8}}{2 \cdot 2^{7}}}{2 \cdot 1 - 3}$

Etapa 2.3.5.4.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + \frac{- 3^{8}}{2^{7}}}{2 \cdot 1 - 3}$

Etapa 2.3.5.4.4

Eleve $3$ à potência de $8$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + \frac{- 1 \cdot 6561}{2^{7}}}{2 \cdot 1 - 3}$

Etapa 2.3.5.4.5

Eleve $2$ à potência de $7$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + \frac{- 1 \cdot 6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Etapa 2.3.5.4.6

Multiplique $- 1$ por $6561$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + \frac{- 6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Etapa 2.3.5.4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 - \frac{6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Etapa 2.3.5.4.8

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{128}{128}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot \frac{128}{128} - \frac{6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Etapa 2.3.5.4.9

Combine $2$ e $\frac{128}{128}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{2 \cdot 128}{128} - \frac{6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Etapa 2.3.5.4.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{2 \cdot 128 - 6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Etapa 2.3.5.4.11

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.4.11.1

Multiplique $2$ por $128$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{256 - 6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Etapa 2.3.5.4.11.2

Subtraia $6561$ de $256$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{- 6305}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Etapa 2.3.5.4.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- \frac{6305}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Etapa 2.3.5.5

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.5.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- \frac{6305}{128}}{2 - 3}$

Etapa 2.3.5.5.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- \frac{6305}{128}}{- 1}$

Etapa 2.3.5.6

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{6305}{128}}{1}$

Etapa 2.3.5.7

Divida $\frac{6305}{128}$ por $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{6305}{128}$

Etapa 2.3.5.8

Multiplique $\frac{3}{2} \cdot \frac{6305}{128}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.8.1

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{6305}{128}$ .

$\frac{3 \cdot 6305}{2 \cdot 128}$

Etapa 2.3.5.8.2

Multiplique $3$ por $6305$ .

$\frac{18915}{2 \cdot 128}$

Etapa 2.3.5.8.3

Multiplique $2$ por $128$ .

$\frac{18915}{256}$

Etapa 2.4

Adicione os resultados das somas.

$2048 + \frac{18915}{256}$

Etapa 2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Para escrever $2048$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{256}{256}$ .

$2048 \cdot \frac{256}{256} + \frac{18915}{256}$

Etapa 2.5.2

Combine $2048$ e $\frac{256}{256}$ .

$\frac{2048 \cdot 256}{256} + \frac{18915}{256}$

Etapa 2.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2048 \cdot 256 + 18915}{256}$

Etapa 2.5.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1

Multiplique $2048$ por $256$ .

$\frac{524288 + 18915}{256}$

Etapa 2.5.4.2

Some $524288$ e $18915$ .

$\frac{543203}{256}$

Etapa 3

Avalie $\sum_{k = 0}^{0} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Expanda a série para cada valor de $i$ .

$256 + {(\frac{3}{2})}^{0}$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$256 + \frac{3^{0}}{2^{0}}$

Etapa 3.2.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$256 + \frac{1}{2^{0}}$

Etapa 3.2.1.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$256 + \frac{1}{1}$

Etapa 3.2.1.4

Divida $1$ por $1$ .

$256 + 1$

Etapa 3.2.2

Some $256$ e $1$ .

$257$

Etapa 4

Substitua as somas pelos valores encontrados.

$\frac{543203}{256} + 257$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para escrever $257$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{256}{256}$ .

$\frac{543203}{256} + 257 \cdot \frac{256}{256}$

Etapa 5.2

Combine $257$ e $\frac{256}{256}$ .

$\frac{543203}{256} + \frac{257 \cdot 256}{256}$

Etapa 5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{543203 + 257 \cdot 256}{256}$

Etapa 5.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Multiplique $257$ por $256$ .

$\frac{543203 + 65792}{256}$

Etapa 5.4.2

Some $543203$ e $65792$ .

$\frac{608995}{256}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{608995}{256}$

Forma decimal:

$2378.88671875$

Forma de número misto:

$2378 \frac{227}{256}$