Pré-cálculo Exemplos

$\sum_{i = 1}^{50} 2^{2 i}$

Etapa 1

A soma de uma série geométrica finita pode ser encontrada pela fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , em que $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão entre os termos sucessivos.

Etapa 2

Encontre a razão dos termos sucessivos substituindo a fórmula $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua $a_{i}$ e $a_{i + 1}$ na fórmula por $r$ .

$r = \frac{2^{2 (i + 1)}}{2^{2 i}}$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $2^{2 (i + 1)}$ e $2^{2 i}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Fatore $2^{2 i}$ de $2^{2 (i + 1)}$ .

$r = \frac{2^{2 i} \cdot 2^{2 (i + 1) - 2 i}}{2^{2 i}}$

Etapa 2.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$r = \frac{2^{2 i} \cdot 2^{2 (i + 1) - 2 i}}{2^{2 i} \cdot 1}$

Etapa 2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$r = \frac{2^{2 i} \cdot 2^{2 (i + 1) - 2 i}}{2^{2 i} \cdot 1}$

Etapa 2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$r = \frac{2^{2 (i + 1) - 2 i}}{1}$

Etapa 2.2.1.2.4

Divida $2^{2 (i + 1) - 2 i}$ por $1$ .

$r = 2^{2 (i + 1) - 2 i}$

Etapa 2.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$r = 2^{2 i + 2 \cdot 1 - 2 i}$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$r = 2^{2 i + 2 - 2 i}$

Etapa 2.2.3

Combine os termos opostos em $2 i + 2 - 2 i$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Subtraia $2 i$ de $2 i$ .

$r = 2^{0 + 2}$

Etapa 2.2.3.2

Some $0$ e $2$ .

$r = 2^{2}$

Etapa 2.2.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$r = 4$

Etapa 3

Encontre o primeiro termo da série, substituindo o limite inferior e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $1$ por $i$ em $2^{2 i}$ .

$a = 2^{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$a = 2^{2}$

Etapa 3.2.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$a = 4$

Etapa 4

Substitua os valores da razão, o primeiro termo e o número de termos na fórmula da soma.

$4 \frac{1 - 4^{50}}{1 - 1 \cdot 4}$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$4 \frac{1 - 4^{50}}{1 - 4}$

Etapa 5.1.2

Subtraia $4$ de $1$ .

$4 \frac{1 - 4^{50}}{- 3}$

Etapa 5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 (- \frac{1 - 4^{50}}{3})$

Etapa 5.3

Multiplique $4 (- \frac{1 - 4^{50}}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 4 \frac{1 - 4^{50}}{3}$

Etapa 5.3.2

Combine $- 4$ e $\frac{1 - 4^{50}}{3}$ .

$\frac{- 4 (1 - 4^{50})}{3}$

Etapa 5.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4 (1 - 4^{50})}{3}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{4 (1 - 4^{50})}{3}$

Forma decimal:

$1.6902008 \cdot 10^{30}$