Pré-cálculo Exemplos

$\sum_{i = 1}^{8} {(\frac{2}{3})}^{i}$

Etapa 1

A soma de uma série geométrica finita pode ser encontrada pela fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , em que $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão entre os termos sucessivos.

Etapa 2

Encontre a razão dos termos sucessivos substituindo a fórmula $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ e simplificando.

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Etapa 2.1

Substitua $a_{i}$ e $a_{i + 1}$ na fórmula por $r$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{i + 1}}{{(\frac{2}{3})}^{i}}$

Etapa 2.2

Cancele o fator comum de ${(\frac{2}{3})}^{i + 1}$ e ${(\frac{2}{3})}^{i}$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore ${(\frac{2}{3})}^{i}$ de ${(\frac{2}{3})}^{i + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{i} \frac{2}{3}}{{(\frac{2}{3})}^{i}}$

Etapa 2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{i} \frac{2}{3}}{{(\frac{2}{3})}^{i} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{i} \frac{2}{3}}{{(\frac{2}{3})}^{i} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$r = \frac{\frac{2}{3}}{1}$

Etapa 2.2.2.4

Divida $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$r = \frac{2}{3}$

Etapa 3

Encontre o primeiro termo da série, substituindo o limite inferior e simplificando.

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Etapa 3.1

Substitua $1$ por $i$ em ${(\frac{2}{3})}^{i}$ .

$a = {(\frac{2}{3})}^{1}$

Etapa 3.2

Simplifique.

$a = \frac{2}{3}$

Etapa 4

Substitua os valores da razão, o primeiro termo e o número de termos na fórmula da soma.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{8}}{1 - \frac{2}{3}}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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Etapa 5.1.1

Multiplique $\frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{8}}{1 - \frac{2}{3}}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{8}}{1 - \frac{2}{3}})$

Etapa 5.1.2

Combine.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 (1 - {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 (1 - \frac{2}{3})}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{3}$ para o numerador.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 2}{3})}$

Etapa 5.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 2}{3})}$

Etapa 5.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 2}$

Etapa 5.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.4.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 2}$

Etapa 5.4.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 + 3 (- \frac{2^{8}}{3^{8}})}{3 \cdot 1 - 2}$

Etapa 5.4.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.4.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2^{8}}{3^{8}}$ para o numerador.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 2^{8}}{3^{8}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Etapa 5.4.3.2

Fatore $3$ de $3^{8}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 2^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Etapa 5.4.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 2^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Etapa 5.4.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 2^{8}}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Etapa 5.4.4

Eleve $2$ à potência de $8$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 256}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Etapa 5.4.5

Eleve $3$ à potência de $7$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Etapa 5.4.6

Multiplique $- 1$ por $256$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Etapa 5.4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 - \frac{256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Etapa 5.4.8

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2187}{2187}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 \cdot \frac{2187}{2187} - \frac{256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Etapa 5.4.9

Combine $3$ e $\frac{2187}{2187}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot 2187}{2187} - \frac{256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Etapa 5.4.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot 2187 - 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Etapa 5.4.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.4.11.1

Multiplique $3$ por $2187$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{\frac{6561 - 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Etapa 5.4.11.2

Subtraia $256$ de $6561$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{\frac{6305}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Etapa 5.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.5.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{\frac{6305}{2187}}{3 - 2}$

Etapa 5.5.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{\frac{6305}{2187}}{1}$

Etapa 5.6

Divida $\frac{6305}{2187}$ por $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{6305}{2187}$

Etapa 5.7

Multiplique $\frac{2}{3} \cdot \frac{6305}{2187}$ .

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Etapa 5.7.1

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{6305}{2187}$ .

$\frac{2 \cdot 6305}{3 \cdot 2187}$

Etapa 5.7.2

Multiplique $2$ por $6305$ .

$\frac{12610}{3 \cdot 2187}$

Etapa 5.7.3

Multiplique $3$ por $2187$ .

$\frac{12610}{6561}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{12610}{6561}$

Forma decimal:

$1.92196311 \dots$

Forma de número misto:

$1 \frac{6049}{6561}$