Pré-cálculo Exemplos

$8 \log_{2} (\sqrt{3 x - 2}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Simplifique $8 \log_{2} (\sqrt{3 x - 2})$ movendo $8$ para dentro do logaritmo.

$\log_{2} ({\sqrt{3 x - 2}}^{8}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Etapa 1.2

Reescreva ${\sqrt{3 x - 2}}^{8}$ como ${(3 x - 2)}^{4}$ .

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Etapa 1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3 x - 2}$ como ${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{2} ({({(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{8}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Etapa 1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 8}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Etapa 1.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $8$ .

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{\frac{8}{2}}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Etapa 1.2.4

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

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Etapa 1.2.4.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{\frac{2 \cdot 4}{2}}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Etapa 1.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Etapa 1.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Etapa 1.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{\frac{4}{1}}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Etapa 1.2.4.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{4}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Etapa 1.3

A base do logaritmo $2$ de $4$ é $2$ .

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{4}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + 2$

Etapa 2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{{(3 x - 2)}^{4}}{\frac{4}{x}}) + 2$

Etapa 3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{4} \frac{x}{4}) + 2$

Etapa 3.2

Combine ${(3 x - 2)}^{4}$ e $\frac{x}{4}$ .

$\log_{2} (\frac{{(3 x - 2)}^{4} x}{4}) + 2$

Etapa 4

Reordene os fatores em $\log_{2} (\frac{{(3 x - 2)}^{4} x}{4}) + 2$ .

$\log_{2} (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4}) + 2$

Etapa 5

Reescreva $\log_{2} (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4})$ usando a mudança da fórmula de base.

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Etapa 5.1

A variação da regra de base pode ser usada quando $a$ e $b$ são maiores do que $0$ e diferentes de $1$ , e quando $x$ é maior do que $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} + 2$

Etapa 5.2

Substitua os valores das variáveis na mudança da fórmula de base, usando $b = 10$ .

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4})}{\log (2)} + 2$

Etapa 6

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\log (2)}{\log (2)}$ .

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4})}{\log (2)} + \frac{2 \log (2)}{\log (2)}$

Etapa 7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4}) + 2 \log (2)}{\log (2)}$

Etapa 8

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1

Simplifique $2 \log (2)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4}) + \log (2^{2})}{\log (2)}$

Etapa 8.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4}) + \log (4)}{\log (2)}$

Etapa 8.3

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4} \cdot 4)}{\log (2)}$

Etapa 8.4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 8.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4} \cdot 4)}{\log (2)}$

Etapa 8.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\log (x {(3 x - 2)}^{4})}{\log (2)}$