Pré-cálculo Exemplos

$\tan (\frac{23 π}{12})$

Etapa 1

Primeiro, divida o ângulo em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos. Neste caso, $\frac{23 π}{12}$ pode ser dividido em $\frac{5 π}{3} + \frac{π}{4}$ .

$\tan (\frac{5 π}{3} + \frac{π}{4})$

Etapa 2

Use a fórmula da soma da tangente para simplificar a expressão. A fórmula determina que $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\tan (\frac{5 π}{3}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Etapa 3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a tangente é negativa no quarto quadrante.

$\frac{- \tan (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Etapa 3.2

O valor exato de $\tan (\frac{π}{3})$ é $\sqrt{3}$ .

$\frac{- \sqrt{3} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Etapa 3.3

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 - \tan (\frac{5 π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Etapa 4

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a tangente é negativa no quarto quadrante.

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 - - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Etapa 4.2

O valor exato de $\tan (\frac{π}{3})$ é $\sqrt{3}$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 - - \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

Etapa 4.3

Multiplique $- - \sqrt{3}$ .

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Etapa 4.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + 1 \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

Etapa 4.4

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1}$

Etapa 4.5

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}}$

Etapa 5

Multiplique $\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}}$ por $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}} \cdot \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

Etapa 6

Combine frações.

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Etapa 6.1

Multiplique $\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}}$ por $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{(- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}$

Etapa 6.2

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\frac{(- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 6.3

Simplifique.

$\frac{(- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Reordene os termos.

$\frac{(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 7.2

Eleve $1 - \sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{1} (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 7.3

Eleve $1 - \sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{1} {(1 - \sqrt{3})}^{1}}{- 2}$

Etapa 7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}$

Etapa 7.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

Etapa 8

Reescreva ${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ como $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ .

$\frac{(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 9

Expanda $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ usando o método FOIL.

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Etapa 9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 9.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 10

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 10.1.2

Multiplique $- \sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 10.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 10.1.4

Multiplique $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Etapa 10.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Etapa 10.1.4.2

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Etapa 10.1.4.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{- 2}$

Etapa 10.1.4.4

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{- 2}$

Etapa 10.1.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{- 2}$

Etapa 10.1.4.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{- 2}$

Etapa 10.1.5

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 10.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 2}$

Etapa 10.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 2}$

Etapa 10.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{- 2}$

Etapa 10.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{- 2}$

Etapa 10.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{1}}{- 2}$

Etapa 10.1.5.5

Avalie o expoente.

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3}{- 2}$

Etapa 10.2

Some $1$ e $3$ .

$\frac{4 - \sqrt{3} - \sqrt{3}}{- 2}$

Etapa 10.3

Subtraia $\sqrt{3}$ de $- \sqrt{3}$ .

$\frac{4 - 2 \sqrt{3}}{- 2}$

Etapa 11

Cancele o fator comum de $4 - 2 \sqrt{3}$ e $- 2$ .

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Etapa 11.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 (2) - 2 \sqrt{3}}{- 2}$

Etapa 11.2

Fatore $2$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (2) + 2 (- \sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 11.3

Fatore $2$ de $2 (2) + 2 (- \sqrt{3})$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{- 2}$

Etapa 11.4

Mova o número negativo do denominador de $\frac{2 - \sqrt{3}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (2 - \sqrt{3})$

Etapa 12

Reescreva $- 1 \cdot (2 - \sqrt{3})$ como $- (2 - \sqrt{3})$ .

$- (2 - \sqrt{3})$

Etapa 13

Aplique a propriedade distributiva.

$- 1 \cdot 2 - - \sqrt{3}$

Etapa 14

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 - - \sqrt{3}$

Etapa 15

Multiplique $- - \sqrt{3}$ .

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Etapa 15.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- 2 + 1 \sqrt{3}$

Etapa 15.2

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$- 2 + \sqrt{3}$

Etapa 16

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- 2 + \sqrt{3}$

Forma decimal:

$- 0.26794919 \dots$