Pré-cálculo Exemplos

$\sin (\arcsin (x) + \arccos (x))$

Etapa 1

Use a fórmula da soma do seno para simplificar a expressão. A fórmula determina que $\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ .

$\sin (\arcsin (x)) \cos (\arccos (x)) + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

Etapa 2

Remova os parênteses.

$\sin (\arcsin (x)) \cos (\arccos (x)) + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

Etapa 3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1

As funções seno e arco seno são inversos.

$x \cos (\arccos (x)) + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

Etapa 3.2

As funções cosseno e arco cosseno são inversos.

$x \cdot x + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

Etapa 3.3

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

Etapa 3.4

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ , $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ e a origem. Então, $\arcsin (x)$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ . Portanto, $\cos (\arcsin (x))$ é $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$x^{2} + \sqrt{1 - x^{2}} \sin (\arccos (x))$

Etapa 3.5

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x^{2} + \sqrt{1^{2} - x^{2}} \sin (\arccos (x))$

Etapa 3.6

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$x^{2} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sin (\arccos (x))$

Etapa 3.7

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ e a origem. Então, $\arccos (x)$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ . Portanto, $\sin (\arccos (x))$ é $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$x^{2} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1 - x^{2}}$

Etapa 3.8

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x^{2} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

Etapa 3.9

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$x^{2} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Etapa 3.10

Multiplique $\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

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Etapa 3.10.1

Eleve $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ à potência de $1$ .

$x^{2} + {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Etapa 3.10.2

Eleve $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ à potência de $1$ .

$x^{2} + {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}$

Etapa 3.10.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2} + {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}$

Etapa 3.10.4

Some $1$ e $1$ .

$x^{2} + {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$

Etapa 3.11

Reescreva ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ como $(1 + x) (1 - x)$ .

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Etapa 3.11.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ como ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} + {({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 3.11.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 3.11.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Etapa 3.11.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.11.4.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Etapa 3.11.4.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{1}$

Etapa 3.11.5

Simplifique.

$x^{2} + (1 + x) (1 - x)$

Etapa 3.12

Expanda $(1 + x) (1 - x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 1 (1 - x) + x (1 - x)$

Etapa 3.12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)$

Etapa 3.12.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

Etapa 3.13

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.13.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.13.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$x^{2} + 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

Etapa 3.13.1.2

Multiplique $- x$ por $1$ .

$x^{2} + 1 - x + x \cdot 1 + x (- x)$

Etapa 3.13.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x^{2} + 1 - x + x + x (- x)$

Etapa 3.13.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{2} + 1 - x + x - x \cdot x$

Etapa 3.13.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.13.1.5.1

Mova $x$ .

$x^{2} + 1 - x + x - (x \cdot x)$

Etapa 3.13.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + 1 - x + x - x^{2}$

Etapa 3.13.2

Some $- x$ e $x$ .

$x^{2} + 1 + 0 - x^{2}$

Etapa 3.13.3

Some $1$ e $0$ .

$x^{2} + 1 - x^{2}$

Etapa 4

Combine os termos opostos em $x^{2} + 1 - x^{2}$ .

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Etapa 4.1

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$0 + 1$

Etapa 4.2

Some $0$ e $1$ .

$1$