Pré-cálculo Exemplos

$\cos (\frac{3 π}{4} - \frac{7 π}{4})$

Etapa 1

Use a fórmula da diferença do cosseno para simplificar a expressão. A fórmula determina que $\cos (A - B) = \cos (A) \cos (B) + \sin (A) \sin (B)$ .

$\cos (\frac{3 π}{4}) \cdot \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Etapa 2

Remova os parênteses.

$\cos (\frac{3 π}{4}) \cdot \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Etapa 3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- \cos (\frac{π}{4}) \cdot \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Etapa 3.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Etapa 3.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Etapa 3.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Etapa 3.5

Multiplique $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 3.5.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Etapa 3.5.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- \frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Etapa 3.5.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- \frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Etapa 3.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Etapa 3.5.5

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Etapa 3.5.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Etapa 3.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Etapa 3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Etapa 3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Etapa 3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Etapa 3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{2^{1}}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Etapa 3.6.5

Avalie o expoente.

$- \frac{2}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Etapa 3.7

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 3.7.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{2 (1)}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Etapa 3.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.7.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Etapa 3.7.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Etapa 3.7.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Etapa 3.8

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$- \frac{1}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Etapa 3.9

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Etapa 3.10

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \sin (\frac{π}{4}))$

Etapa 3.11

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 3.12

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Etapa 3.12.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.12.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.12.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.12.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.12.5

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.12.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Etapa 3.13

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 3.13.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Etapa 3.13.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Etapa 3.13.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Etapa 3.13.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.13.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Etapa 3.13.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{2} - \frac{2^{1}}{4}$

Etapa 3.13.5

Avalie o expoente.

$- \frac{1}{2} - \frac{2}{4}$

Etapa 3.14

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 3.14.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{2 (1)}{4}$

Etapa 3.14.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.14.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.14.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.14.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 4

Combine frações.

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Etapa 4.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 1 - 1}{2}$

Etapa 4.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$\frac{- 2}{2}$

Etapa 4.2.2

Divida $- 2$ por $2$ .

$- 1$